今回は1次不等式について説明していきます。
・1次不等式の解き方がわからない
という人は今回の記事を読んでもらえれば理解することができます。
記号の読み方や意味、1次不等式の解き方について学んでいきましょう。
不等号とは？
＜、＞、≦、≧
これらの記号を不等号といいます。
まずは読み方や不等号が表す意味を確認していきます。
＜、＞
＜ → a＜bで「a小なりb」
＞ → a＞bで「a大なりb」
・意味
＜ → 右側にあるものの方が大きい。
a＜bの時、bよりもaの方が小さい(aとbはイコールではない)
＞ → 左側にあるものの方が大きい。
a＞bの時、bよりもaの方が大きい(aとbはイコールではない)
読み方についてですが、「〜は・・・より小さい(大きい)」で読まれることもあります。
意味については、左右の辺で大きい方のものが開いている方にきます。
注意点としては＜、＞で表された左右のものは等しくないということです。
≦、≧
≦ → a≦bで「a小なりイコールb」
≧ → a≧bで「a大なりイコールb」
・意味
≦ → a≦bの時、aはb以下
(aとbは等しい、またはbよりもaの方が小さい)
≧ → a≧bの時、aはb以上
(aとbは等しい、またはbよりもaの方が大きい)
以下、以上を表します。
この時も、左右の辺で大きいものの方が開いている方にきます。
注意点としては、＜、＞のときは左右のものは等しくありませんでしたが、≦、≧では、左右が等しいこともあります。
読み取りの確認
では、いくつか具体例を用いて不等号の読み取りの練習をしてみましょう。
②\(x\)≧7
この2つについて考えてみましょう。
読み取りのポイントとしては
です。
まず、①a＜9 (aは整数)についてです。
整数であるaは「9より小さい」ということですが、以下の数直線を見てください。
この斜線で表されている部分が、a＜9の示す範囲になります。
(都合上線を途中までしか書いていませんが、実際にはずっと先まで続きます。)
つまり、8、7、6、5、4・・・と、9より小さい整数全てをaが取りうるということです。
また、＜、＞を数直線上などで表す時に、◯(塗りつぶしていない丸)を使って表します。
不等式の問題で、数直線等で◯が使われていたら、その数を含めません。
次に②\(x\)≧7についてです。
\(x\)は「7以上」ということですが、これも数直線で確認してみましょう。
この斜線で表されている部分が、\(x\)≧7の示す範囲になります。
(都合上線を途中までしか書いていませんが、実際にはずっと先まで続きます。)
7以上の全ての数を\(x\)が取りうるということです。
また、＜、＞を数直線上などで表す時には◯でしたが、≦、≧の時には●(塗りつぶされた丸)を使います。
●の時には、その数も含めます。
1次不等式
次は1次不等式についてです。
不等号が使われ両辺の大小関係を表す式を不等式といいます。
そして、変数の次数が1次のときの不等式を1次不等式といいます。
では、この不等式の解き方をこれから解説していきます。
基本的に解き方の流れは方程式と同じです。
不安な人は以下の記事を確認して下さい。
1次不等式を解く流れ
1次不等式の解き方は、最初に述べたように方程式とほぼ同じです。
「=」が「＜、＞、≦、≧」に変わるだけです。
つまり、「＜、＞、≦、≧」を「=」と考えて方程式と同じように解いていけばOKです。
不等式を解く時の注意点
解き方は方程式と同じと言いましたが、1つだけ注意点があります。
ここが大きく方程式とは異なります。
両辺に「−」(負)の値をかける(割る)と、不等号の向きが反対になる
これが注意点です。
等式(「=」を使った式)は両辺に負の値をかけても(割っても)「=」が変わることはありません。
しかし、不等式の場合は、不等号の向きが反対になります。
1次不等式を解いている時に、両辺に負の数をかけたり割ったりする時は要注意です。
この注意点を忘れてしまうミスがよくあるので気をつけるようにしてください。
なお、負の数を足したり引いたりした場合は不等号の向きが変わることはありません。
例題
それではいくつか1次不等式の問題を解きながら流れを確認してみましょう。
まずは
4+2x＜-x-5
\]
を解いてみましょう。
・STEP1 ( )のチェック
今回、( )はついていないので、次のSTEPへ
・STEP2 分数、小数のチェック
分数も小数も無いので次のSTEPへ
・STEP3 移項
移項の仕方は方程式と同様です。
不等号をまたいで反対側の辺に移動したら符号が逆になります。
\[
\begin{align}
4+2x&＜-x-5\\
2x+x&＜-5-4\\
3x&＜-9
\end{align}
\]
移項が終わってそれぞれの辺をまとめられたので次にSTEPです。
・STEP4 解を求める
求める文字の前についている係数の逆数を両辺にかけましょう。
今回、係数は「3」と正の数なので不等号の向きは変わりません。
\[
\begin{align}
3x&＜-9\\
3x\times \frac{1}{3}&＜-9\times \frac{1}{3}\\ \\
x&＜-3
\end{align}
\]
となり、\(x\)＜-3という解を求めることができました。
もう1問解いておきましょう。
\frac{1}{6}(x-7)≦\frac{1}{2}(x+2)
\]
まずは、( )があるので外します。
( )の前が分数なので両辺に分母の最小公倍数をかけて整数に直しておきましょう。
\[
\begin{align}
\frac{1}{6}(x-7)&≦\frac{1}{2}(x+2)\\ \\
\frac{1}{6}(x-7)\times6&≦\frac{1}{2}(x+2)\times6 \\ \\
(x-7)&≦3(x+2)
\end{align}
\]
( )を外して
\[
x-7≦3x+6
\]
となります。
次に、分数や小数の確認ですが、無いので次のSTEPへ
移項をします。
\[
\begin{align}
x-7&≦3x+6\\
x-3x&≦6+7\\
-2x&≦13
\end{align}
\]
となります。
移項が終わったので、解を求めるのですが、今回求める文字の係数は「−2」です。
この係数の逆数、つまり\(-\frac{1}{2}\)を両辺にかけます。
今回は両辺に負の数をかけるので不等号の向きも逆にすることに注意です。
\[
\begin{align}
-2x\times \left(-\frac{1}{2} \right)&≦13\times \left(-\frac{1}{2} \right)\\ \\
x&≧-\frac{13}{2}
\end{align}
\]
となり、\(x≧-\frac{13}{2}\)という解を求めることができました。
別解
\frac{1}{6}(x-7)≦\frac{1}{2}(x+2)
\]
の別解を示しておきます。
それは、負の数をかけることにならないように移項することで、不等号を反対にし忘れるミスを防ぐ解き方です。
途中までの計算過程は同じなので、異なる部分から示します。
\[
\begin{align}
x-7&≦3x+6\\
-7-6&≦3x-x\\
-13&≦2x\\
-\frac{13}{2}&≦x
\end{align}
\]
このように、\(x\)の係数が負にならないように移項をします。解は同じになります。
もちろん、どちらの解き方でもOKです。
まとめ
では、今回のまとめです。
・読み方
＜ → a＜bで「a小なりb」
＞ → a＞bで「a大なりb」
≦ → a≦bで「a小なりイコールb」
≧ → a≧bで「a大なりイコールb」
・意味
＜ → 右側にあるものの方が大きい。
a＜bの時、bよりもaの方が小さい(aとbはイコールではない)
＞ → 左側にあるものの方が大きい。
a＞bの時、bよりもaの方が大きい(aとbはイコールではない)
≦ → a≦bの時、aはb以下
(aとbは等しい、またはbよりもaの方が小さい)
≧ → a≧bの時、aはb以上
(aとbは等しい、またはbよりもaの方が大きい)
1次不等式の解き方
・「=」が「＜、＞、≦、≧」に変わるだけで方程式と同じ流れで解く。
・ ただし、両辺に「−」(負)の値をかける(割る)と、不等号の向きが反対になることに注意！
今回はここまでです。
教科書の問題や問題集に挑戦して確認してみて下さい。
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