【中2数学】 同位角、錯角、対頂角【図形の合同】

今回の中2数学は図形の合同から「同位角、錯角、対頂角」について解説していきます。

・同位角、錯覚、対頂角について
・平行線の性質について

解説していきます。

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同位角、錯角、対頂角について

まず、以下の図を見てください。

2つの直線\(l\)と\(m\)があり、直線\(n\)がどちらの直線とも交わっています。

このとき、図に示したような8つの角があります。

同位角

この図において、\(\angle A\)と\(\angle E\)、\(\angle B\)と\(\angle F\)、\(\angle C\)と\(\angle G\)、\(\angle D\)と\(\angle H\)を同位角といいます。

錯角

先程の図において\(\angle C\)と\(\angle E\)、\(\angle D\)と\(\angle F\)を錯角といいます。

対頂角

先程の図において\(\angle A\)と\(\angle C\)、\(\angle B\)と\(\angle D\)、\(\angle E\)と\(\angle G\)、\(\angle F\)と\(\angle H\)を対頂角といいます。

この対頂角は「それぞれの対頂角は等しい」という性質があります。

よって\(\angle A=\angle C\)、\(\angle B=\angle D\)、\(\angle E=\angle G\)、\(\angle F=\angle H\)が成り立ちます。

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平行線の性質について

平行線の性質と平行線になる条件を確認していきます。

平行線の性質

今度は2つの直線\(l\)と\(m\)があるのですが、2つの直線は平行であるとします。

そこに直線\(n\)がどちらの直線とも交わっていることを考えます。

この時、以下の性質が成り立ちます。

平行線の性質

・2直線が平行の時、それぞれの同位角は等しくなる
・2直線が平行の時、それぞれの錯角は等しくなる

つまり、最初に説明した同位角であれば

\(\angle A=\angle E\)、\(\angle B=\angle F\)、\(\angle C=\angle G\)、\(\angle D=\angle H\)

となります。

また、最初に説明した錯角であれば

\(\angle C=\angle E\)、\(\angle D=\angle F\)

となります。

なお、対頂角については平行であってもそうでなくても等しくなります。

平行線になる条件

次に平行線になる条件について確認しておきます。

2直線が平行の時同位角・錯角が等しくなるということでしたが、この逆が平行線になる条件です。

つまり

同位角または錯角が等しい時、2直線は平行になる

ということです。

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練習問題

最後にいくつか問題を解いて確認していきましょう。

問1 以下の図で\(l\)//\(m\)の時、\(\angle x\)、\(\angle y\)の大きさを求めよ。

解答

2直線が平行であるので同位角は等しくなることから

\[
\angle x = 120^\circ
\]

また、2直線が平行であるので錯角は等しくなることから

\[
\angle y =150^\circ
\]

問2 以下の図で\(l\)//\(m\)の時、\(\angle z\)の大きさを求めよ。

解答

2直線が平行であるので同位角や錯角を利用して角度を求めたいのですが、問題文に与えられた角度だけでは\(\angle z\)を求めることができます。

ここで以下の図のような\(\angle a\)を考えます。

直線のなす角が\(180^\circ\)であることから、\(\angle a\)は

\[
\begin{align}
\angle a &= 180^\circ – 135^\circ\\
&=45^\circ
\end{align}
\]

となります。

ここで\(\angle z\)と\(\angle a\)は同位角であるので

\[
\begin{align}
\angle z &= \angle a\\
&=45^\circ
\end{align}
\]

と求まります。

もちろん、以下の図のように錯角を利用して求めてもOKです。

問3 以下の図で\(l\)//\(m\)の時、\(\angle w\)の大きさを求めよ。

解答

少し工夫が必要な問題です。

以下の図のような\(l\)、\(m\)に平行な直線\(n\)を考えます。

この様な線を補助線といいます。

また図に示したように\(\angle a\)、\(\angle b\)、\(\angle c\)を考えます。

すると\(l\)と\(n\)は平行であるので錯角より

\[
\angle a = 30^\circ
\]

です。

\(m\)と\(n\)は平行であるので錯角より

\[
\angle b = \angle c
\]

です。

ここで、\(\angle c\)は

\[
\begin{align}
\angle c &= 180^\circ -160^\circ\\
&=20^\circ
\end{align}
\]

です。

よって

\[
\angle w = \angle a +\angle b
\]

であるで

\[
\begin{align}
\angle w = 30^\circ +20^\circ
&=50^\circ
\end{align}
\]

と求まります。

<h2>まとめ

それでは今回のまとめです。

同位角と錯角、対頂角
   ◯同位角

   ◯錯角

   ◯対頂角

平行線の性質
   ◯2直線が平行の時、それぞれの同位角は等しくなる
   ◯2直線が平行の時、それぞれの錯角は等しくなる

平行線になる条件
   同位角、または錯角が等しい時、2直線は平行となる。

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