【高卒認定試験数学】平成28年度1回目 ポイント解説

今回は高卒認定試験数学の平成28年度第1回目のポイント解説をしていきます。

問題や解答については文部科学省のHPにあるもの参照するか、過去問題集などを持っている人はその問題を見てもらってもOKです。

・どのような問題が出題されたか
・どのような知識が必要か
・どう解くのがよいのか

といった視点からそれぞれの問題について説明していきます。

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大問1

因数分解、有理化、必要条件と十分条件の出題でした。

(1)について

因数分解の問題です。

ポイントは\((x-3)\)を\(X\)などの文字に置き換えてから因数分解するということです。

\((x-3)\)を\(X\)とおくと問題文の式は

\[
(x-3)^2+4(x-3)=X^2+4X
\]

と変形することができます。

後は\(x\)を共通因数としてくくり、最後に\(X\)を\((x-3)\)に戻せばOKです。

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(2)について

有理化の問題です。

分母が\(2+\sqrt{2}\)であるので分母と分子に\(2-\sqrt{2}\)をかけて有理化をしましょう。

(3)について

必要条件と十分条件の問題です。

まず必要条件、十分条件について確認していきます。

\(p\)ならば\(q\)が成り立つとき、\(q\)は\(p\)であるための必要条件、\(p\)は\(q\)であるための十分条件

といいました。

ではどのように考えればよいかというと、\(p\)を\(x+y=3\)、\(q\)を\(x=2\)かつ\(y=1\)として

・\(p \Longrightarrow q\)
・\(q \Longrightarrow p\)

についてそれぞれの命題が成り立つかどうか確認していきます。

反例が1つでもあればその命題は成り立ちません。

まずは「\(p \Longrightarrow q\)」についてです。

\(x=2\)、\(y=1\)を\(x+y\)に代入してみると確かに\(3\)となります。

しかし、\(x=1\)、\(y=2\)を代入してみても\(3\)となります。

この\(x=1\)、\(y=2\)が反例となり「\(p \Longrightarrow q\)」という命題は成り立ちません。

次に「\(q \Longrightarrow p\)」についてです。

この命題は成り立ちます。

よって\(x+y=3\)ならば\(x=2\)かつ\(y=1\)(\(q\)ならば\(p\))が成り立つことから\(x+y=3\)は\(x=2\)かつ\(y=1\)であるための必要条件となります。

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大問2

1次不等式、不等式の文章問題が出題されました。

(1)について

1次不等式の問題です。

小数が含まれているのでまずは両辺を\(10\)倍し、整数に直してから計算をしましょう。

移項をする時ですが、左辺に\(x\)を含む項を集める場合最終的な答えを出す時に両辺に負の数をかける(もしくは負の数で割る)必要があるので、不等号の向きを逆にすることを忘れないようにしてください。

不等号の向きのミスが心配な人は、右辺に\(x\)を含む項を集めると負の数をかける(もしくは負の数で割る)必要がなくなります。

このように、不等号の向きを逆にする操作がでないように移項して計算ミスを減らすこともできるので試してみてください。

(2)について

不等式の文章問題です。

ポイントは問題文から式を正しく立てられるかどうかです。

問題文を読み取り、式を立てることが苦手という人は「具体例を考える」ことをオススメします。

まずは情報を整理してみましょう。

・一般の入場料は1人600円
・25人以上の団体は1人500円
・25人に満たなくても、25人分の団体用の入場券(1人500円)を購入すれば入場できる

ということがわかっています。

3つ目については、例えば20人で水族館に行ったことを考えます。

25人以上の団体ではありませんが、25人分の団体用の入場券を購入すれば入場できるということです。

そして求めたいものは、最低何人以上であれば団体用の入場券を購入したほうが入場料の総額が少なくなるかです。

つまり、25人に満たなくても何人以上であれば一般料金で入場するよりも1人あたりの負担額がすくなくなるかを考えます。

求める人数を\(x\)とおきます。

例えば20人で行った場合を考えます。

一般料金であれば1人600円支払うことになります。

25人分の団体用料金(1人500円)を支払って入場する場合は総額が\(25\times 500\)であるので、1人あたりの負担額は

\[
\frac{25 \times 500}{20}
\]

となります。

具体的にいくらかまでは計算しなくてもOKです。

つまり、25人分の団体用料金(1人500円)の総額を人数で割れば1人あたりの負担額が求まるので、\(x\)人で行くとすると

\[
\frac{25 \times 500}{x}
\]

となります。

よって、この1人あたりの負担額が600円以下になればよいので

\[
\frac{25 \times 500}{x}≦600
\]

の不等式を解けばOKです。

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大問3

グラフの概形、グラフの式の決定、頂点の座標からの出題でした。

(1)について

グラフの概形の問題です。

与えられたグラフの式が\(y=x^2+4x+4\)と一般形であるので標準形に直します

平方完成をする必要があるのですが不安な人は以下の記事を参考にしてください。

高卒認定試験数学 ポイント解説と勉強法 ―2次関数 【大問3 ①】
高卒認定試験数学の解説です。今回は大問3の2次関数のポイントを説明します。2次関数のグラフが苦手という人は今回の記事で確認し、次回の記事で解き方のポイントをおさえましょう。

\(y=x^2+4x+4\)を平方完成すると\(y=(x+2)^2\)となります。

すると頂点の座標が(\(\ -2\ ,\ 0\ \))、\(a=1\)であるので上に凸のグラフを選べばOKです。

(2)について

グラフの式を決定する問題です。

グラフの式とグラフの通る点が与えられています。

グラフの通る点の座標はグラフをの式に代入しても式が成立します

\(y=x^2+kx-2\)に(\(\ -3\ ,\ 1\ \))を代入すると\(k\)の1次方程式になるので後は\(k\)について解くだけです。

(3)について

頂点の座標を求める問題です。

グラフの形が一般形であるので標準形に直す必要があります。

平方完成をする必要があるのですが不安な人は先程も示した記事を参照して下さい。

標準形に直せたら後は頂点の座標を読み取るだけです。

今回のようにグラフが与えられている場合はそれを利用して解くこともできます。

しかしグラフが与えられていないと使えないですし、これから説明する方法に頼らずグラフの式を標準形にして頂点を読み取れるようにしておいてください。

では説明していきます。

この方法はグラフの軸が頂点を通ることを利用します。

以下の図のように2次関数のグラフの軸は頂点を通り\(x\)軸に垂直な線です。

よって、グラフと\(x\)軸との共有点の中点となります。

これにより、頂点の\(x\)座標が\(3\)とわかります。

後はグラフの式に\(x=3\)を代入して\(y\)の値を求めれば、頂点の座標の\(y\)座標が求まります。

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