【高卒認定試験数学】平成29年度1回目 ポイント解説 大問4〜大問6

前回の続きで大問4〜6についてポイントを解説していきます。

前回の記事はこちらから。

【高卒認定試験数学】平成29年度1回目 ポイント解説 大問1〜大問3
今回は高卒認定試験数学の過去問のポイント解説です。どのような問題が出題されているのか、どのような知識が必要か、どのように解くのがよいのかなど把握して過去問演習をより効果的に行えるようにしましょう。
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大問4

2次関数の最大値・最小値、\(x\)軸との共有点、2次不等式が出題されました。

(1)について

最大値・最小値を求める問題です。

最大値・最小値を考える時はグラフを用いて考えましょう。

与えらている式からグラフをかくと以下のようなグラフがかけます。

下に凸の頂点が\((\ 2\ ,\ -5\ )\)のグラフです。

ここで定義域が\(-3≦x≦3\)と与えられているのでこの範囲のみ水色にしてみると以下のようになります。

すると最大値と最小値がひと目でわかります。

最大値は\(x=-3\)のとき、最小値は\(x=2\)の時です。

後はこの時の\(y\)の値を求めればOKです。

定義域の両端の座標を代入して終わり、という人がいますがそれでは今回のように頂点が最小値となる場合に対応することができません

なので必ずグラフをかいて最大値・最小値を考えるようにしてください。

(2)について

\(x\)軸との共有点を求める問題です。

\(x\)の共有点は\(y\)座標が\(0\)であるので、グラフの式に\(y=0\)を代入して2次方程式を解けばOKです。

問題文に与えられている答えの形からもわかるように因数分解をすることができます。

\[
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
\]

とたすきがけを利用して因数分解をしましょう。

別解として解の公式を利用して解くこともできます。

その場合、符号のミスや計算ミスに十分注意してください。

(3)について

2次不等式の問題です。

2次不等式を解くときもグラフをかいて考えることで視覚的にもわかりやすくなります。

今回問題文にグラフが与えられていますが、無い場合は自分でグラフをかくようにしてください。

考える2次不等式は\(x^2+2x-3>0\)です。

\(y\)の値が0より大きくなる範囲を考えるので以下の図の赤い部分となります。

等号がついていないので\(x\)軸との共有点は白丸で表します。

後はこのグラフの赤い部分の\(x\)の範囲を選択肢から選べばOKです。

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大問5

三角比、三角比の値、三角比の計算、余弦定理、正弦定理の問題が出題されました。

(1)について

三角比を利用して長さを求める問題です。

与えられた図の直角三角形に着目しましょう。

求める長さを\(x\)とおきます。

底辺、対辺、角度の関係であるので\(\tan\)を利用して長さを求めます。

\[
\tan43^\circ = \frac{x}{400}
\]

となるので\(x=\)に変形します。

\[
x= 400\times \tan 43^\circ
\]

を計算すればOKです。

なお、\(\tan43^\circ\)の値は問題文に示されているのでそれを用いてください。

(2)について

三角比の値を求める問題です。

\(\sin 137^\circ\)の値を求めるのですが

\[
\sin (180^\circ – \theta) = \sin \theta
\]

を利用します。

\(137^\circ = 180^\circ – 43^\circ\)であるので

\[
\begin{align}
\sin 137^\circ&=\sin(180^\circ – 43^\circ)\\
&=\sin 43^\circ
\end{align}
\]

となります。

\(\sin 43^\circ\)の値は問題文に与えられているのでそれを利用すればOKです。

(3)について

三角比の計算の問題です。

\(\sin 0^\circ =0\)、\(\cos 0^\circ =1\)、\(\tan 0^\circ =0\)であるので、これらの値を代入して計算すればOKです。

\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)について、\(0^\circ\)、\(30^\circ\)、\(45^\circ\)、\(60^\circ\)、\(90^\circ\)、\(120^\circ\)、\(135^\circ\)、\(150^\circ\)、\(180^\circ\)の各値は覚えておきましょう。

(4)について

余弦定理の問題です。

求める長さを文字でおいて、余弦定理の式にあてはめて計算すればOKです。

見分け方としてはわかっているものと求めるものの関係が2辺とその間の角ということから余弦定理を使うと判断するとよいでしょう。

この余弦定理を利用して長さを求めるような問題は毎年出題されているので確実に解けるようにしておきましょう。

(5)について

正弦定理を利用して長さを求める問題です。

求める長さを文字でおいて、正弦定理の式にあてはめて計算すればOKです。

見分け方としてはわかっているものと求めるものの関係が向かい合う辺と角の2ペアということから正弦定理を使うと判断するとよいでしょう。

この正弦定理を利用して長さを求めるような問題は出題頻度も高いので確実に解けるようにしておきましょう。

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大問6

代表値、箱ひげ図、分散、散布図について出題されました。

(1)について

代表値の問題です。

まずデータを小さい順に並べましょう。

次に選択肢をみる順番として①、②、④から確認してください。

データの個数が奇数であるので中央値はデータを並び替えればすぐに判断できます。

また、範囲も「最大値ー最小値」であり、第1四分位数は4と7の中央値、つまり4と7の平均値を求めればよいのですぐに計算できると思います。

そのため、これらの選択肢から確認していきましょう。

平均値は他と比べると少し計算量が多くなるので最後に確認するとよいでしょう。

もちろん、順番に確認していってもよいです。

(2)について

箱ひげ図の読み取りの問題です。

箱ひげ図のそれぞれどの部分が何を表しているのか確認しておきましょう。

箱ひげ図を書かされる問題は出題されていませんが、理解を深めるためにも自分で書けるように練習しておきましょう。

データは問題文に小さい順に並べられているのでここから箱ひげ図をかくのに必要なデータを読み取り、適した箱ひげ図を選択肢から選べばOKです。

(3)について

分散についての問題です。

分散を計算するのではなく、与えられた分散からデータについて判断する問題です。

範囲と標準偏差を見るのですが、範囲は「最大値ー最小値」で計算することができるのですぐ求まると思います。

標準偏差は「標準偏差\(=\)\(\sqrt{\mbox{分散}}\)」で求まります。

√の中が大きくなると、√の値も大きくなるので具体的な値を求めなくても、中身である分散の大小を比較すればよいです。

(4)について

相関係数の問題です。

与えられた散布図の相関係数の大小を比較します。

また、データがバラけているほど0、右肩上がりでギュッと集まっているほど1、右肩下がりでギュッと集まっているほど-1に近い値になります。

散布図を見てみると

   ・(A)、(C)は右肩上がりで(C)の方がデータが集まっている
   ・(B)は右肩下がり
   ・(D)はバラバラ

ということがわかるので後は選択肢から正しい大小関係を選べばOKです。

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終わりに

過去問を解く際に参考にしてみて下さい。

詳しい解き方についてはまた別の記事で解説する予定です。

今回はここまでです。

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