【高卒認定試験数学】平成30年度1回目 ポイント解説 大問1〜大問3

今回は高卒認定試験数学の平成30年度第1回目のポイント解説をしていきます。

今回は大問1〜大問3についてポイント解説をしていきます。

問題や解答については文部科学省のHPにあるもの(http://www.mext.go.jp/a_menu/koutou/shiken/kakomon/1407990.htm)を参照するか、過去問題集などを持っている人はその問題を見てもらってもOKです。

・どのような問題が出題されたか
・どのような知識が必要か
・どう解くのがよいのか

といった視点からそれぞれの問題について説明していきます。

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大問1

大問1は整式の加法・減法、有理化、必要条件と十分条件が出題されました。

個々の問題について確認していきます。

(1)について

整式の加法・減法に関する問題です。

与えられた式にそれぞれの文字式を代入して計算をする問題です。

このような問題はまず「与えられた式が簡単にできる場合は簡単にしてから代入する」と計算が楽になりますが、今回は特に簡単にすることができないのでそのまま代入してOKです。

注意することは\(C\)に代入する時に、係数が\(-2\)と負の値であるのでカッコを外す時は符号に気をつけましょう

(2)について

有理化に関する問題です。

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)を利用して分母を有理化しましょう。

分母が\(\sqrt{2}+1\)であるので、分母・分子に\(\sqrt{2}-1\)をかければOKです。

有理化の注意点としては分母・分子両方にかけるということです。

分子にかけ忘れて計算ミスをしてしまうことがあるので注意して下さい。

(3)について

必要条件と十分条件に関する問題です。

長方形、正方形がどのような図形か理解しておく必要があります。

長方形:4つの内角が全て等しい図形
正方形:4つの辺の長さが等しく、内角が全て直角の図形

です。

命題の真偽を考える時は1つでも成り立たない場合(反例)があれば偽です。

なお、必要条件・十分条件は以下のような矢印を用いて考えることが多いです。

今回は\(p\)が四角形ABCDが長方形、\(q\)が四角形ABCDが正方形となります。

\(p\)→\(q\)を考えてみると、例えば縦10cm、横5cmの長方形が反例としてあげられます。

よって\(p\)→\(q\)は偽です。

逆の\(q\)→\(p\)を考えると、四角形が正方形であれば図形が長方形である条件を満たしているので、真です。

これより、\(p\)は\(q\)であるための必要条件ということがわかります。

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大問2

大問2は1次不等式の計算と文章問題が出題されました。

1次不等式の解き方を理解しておく必要があります。

また、問題文を読みとり、そこから式を立てる練習もしておくと良いでしょう。

それでは、解き方や考え方のポイントを説明していきます。

(1)について

まずは両辺を10倍して両辺を整数に直してから計算するようにしましょう。

この時、以下のように

\[
(-0.7x-0.4)\times10≧(-0.2x+1.6)\times10
\]

( )をつけてから10倍し、分配法則を利用して展開しましょう。

計算ミスを減らすちょっとしたコツです。

10倍をした後の移項についてですが、\(x\)を含む項を右辺に集めるとよいでしょう。

この理由は、右辺に集めておいた方が最終的な解を出す時に両辺に負の数をかける必要がなくなり、不等号の向きを逆にし忘れる心配がなくなります。

(2)について

求めるものを文字でおいて考えます。

つまりケーキの個数について考えるのでこれを文字でおきましょう。

ケーキとアイスを合わせて50個購入することから、ケーキの個数を\(x\)とすると、アイスの個数は\(50-x\)個と表すことができます。

段階を踏むとすると

ケーキの個数+アイスの個数=50個

であるので

\[
\begin{align}
x+\mbox{アイスの個数}&=50\\
\mbox{アイスの個数}&=50-x
\end{align}
\]

です。

後は代金についての不等式を立式します。

「ケーキとアイスの代金の合計が5000円以下になる」という式を立てればよいので

ケーキの代金+アイスの代金≦5000

という関係になります。

答えを出す時に注意です。

求めるものは個数であるので整数になります。

不等式を解いたら数直線を書き、範囲内の最大の整数を考えましょう。

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大問3

大問3は2次関数のグラフに関して、平行移動、グラフを表す式、頂点の座標の問題が出題されました。

グラフを表す式とその式から何が読み取れるのか確認しておきましょう。

(1)について

グラフの平行移動に関する問題です。

グラフの頂点が(\(\ 0\ ,\ 0\ \))から(\(\ -1\ ,\ 3\ \))に移動します。

頂点がどこに移動するのかわかるので、標準形のグラフの式\(y=a(x-p)^2+q\)を考えます。

標準形のグラフの頂点が(\(\ p\ ,\ q\ \))であるので、移動後の頂点(\(\ -1\ ,\ 3\ \))と比較すると\(p=-1\)、\(q=3\)です。

これを\(y=a(x-p)^2+q\)に代入すればOKです。

なお、\(a\)については移動の前後で変わらないので\(a=2\)です。

(2)について

頂点とグラフが与えられており、そこからグラフを表す式を決める問題です。

頂点が与えられているので、標準形のグラフの式\(y=a(x-p)^2+q\)をまずは考えます。

頂点が(\(\ 2\ ,\ -4\ \))であることから\(p=2\)、\(q=-4\)を\(y=a(x-p)^2+q\)に代入します。

\[
y=a(x-2)^2+-4
\]

となり選択肢が2択に絞られます。

後は\(a\)について調べていきます。

グラフが原点を通っているので(\(\ 0\ ,\ 0\ \))を\(y=a(x-2)^2+-4\)に代入します。

すると\(a=1\)となるので式が決定されます。

(3)について

グラフの頂点を求める問題です。

グラフの頂点を求めるにはグラフの式を標準形に直して読み取るか、グラフを与えられている場合はそれを利用する方法とがあります。

まずは、標準形に直す方法についてです。

グラフの式が一般形で与えられている場合、平方完成をして標準形に直しましょう。

平方完成の仕方については以下の記事を参考にして下さい。

今回はグラフが与えられているのでそれを利用する方法も示しておきます。

グラフの頂点を通る軸を考えます。

すると、軸に関してグラフは対象となるので\(x\)軸との交点の丁度真ん中を軸が通ります。

このことから、頂点の\(x\)座標が1とわかります。

後は、与えられているグラフの式に\(x=1\)を代入して求まる\(y\)の値が頂点の\(y\)座標となるので、頂点の座標が求まります。

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まとめ

今回はここまでです。

次回は大問4〜6についてポイント解説をしていきます。

次回の記事はこちらから。

【高卒認定試験数学】平成30年度1回目 ポイント解説 大問4〜大問6
今回は高卒認定試験数学の過去問のポイント解説です。どのような問題が出題されているのか、どのような知識が必要か、どのように解くのがよいのかなど把握して過去問演習をより効果的に行えるようにしましょう。

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