【高卒認定試験数学】平成30年度1回目 ポイント解説 大問4〜大問6

前回の続きで大問4〜6についてポイントを解説していきます。

前回の記事はこちらから。

【高卒認定試験数学】平成30年度1回目 ポイント解説 大問1〜大問3
今回は高卒認定試験数学の過去問のポイント解説です。どのような問題が出題されているのか、どのような知識が必要か、どのように解くのがよいのかなど把握して過去問演習をより効果的に行えるようにしましょう。
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大問4

大問4は2次関数の最大値・最小値、2次方程式、2次不等式の問題が出題されました。

(1)について

最大値・最小値に関する問題です。

2次間数の最大値・最小値の問題を解く時はグラフの概形と範囲を図示することがポイントです。

視覚的にも情報が整理するので日頃の演習から意識して下さい。

今回のグラフを図示すると以下のようになります。

範囲の部分を実線、それ以外を点線で書いています。

すると、どこが最大値、最小値なのかわかりやすくなるので、後はその点の\(y\)座標の値を求めればOKです。

よくある間違いとして、範囲の始めと終わりの2点を代入して最大値・最小値を決めてしまう人がいますが、それで求まる場合もあれば、そうならない場合もあります。

繰り返すようですが必ずグラフを書いて考えて下さい。

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(2)について

\(x\)軸との共有点を求める問題です。

\(x\)軸との共有点の求め方は式に\(y=0\)を代入して2次方程式を解けばOKです。

因数分解ができる時は因数分解をして下さい。

因数分解ができない、または因数分解が思いつかないようであれば解の公式を利用しましょう。

解の公式

\(ax^2+bx+c=0\)(\(a \neq 0\))の解は
\[
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\]

(3)について

2次不等式の問題です。

2次不等式もグラフを考えると解きやすいです。

因数分解形で式が与えられているので、そこからグラフを描きます。

与えられた式を「左辺=0」と考えて\(x\)について解きます。

求まった解がグラフと\(x\)軸との交点です。

今回の場合だと

\[
(x-3)(x-6)=0
\]

と考えて解くと\(x=3,6\)です。

また、因数分解形\(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)における\(a\)は1であるので、正の値ということから下に凸のグラフになります。

よって、\(x\)軸と3,6で交わる下に凸のグラフを描けばよいので以下のようなグラフになります。

不等号が「>」であるので、交点の値は含みません。

求めるものは\((x-3)(x-6)>0\)、つまり\(y\)の値が常に正になる範囲を求めます。

グラフを用いて考えると以下の部分が\(y\)の値が常に正になる範囲です。

よって、これを満たす\(x\)の範囲(図の斜線部)を選択肢から選べばOKです。

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大問5

大問5では三角比、三角比の値、三角比の符号、余弦定理、正弦定理の問題が出題されました。

(1)について

三角比を利用して長さを求める問題です。

図に直角三角形が示されているので、わかっている角度・長さと求める長さから\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)のどの関係を用いるのかを考えましょう。

今回わかっているのは斜辺と角度で、対辺の長さを求めます。

つまり、\(\sin\)の関係を用います。

求める長さを文字でおき、\(\sin\)の式をたておいた文字について解けばOKです。

三角比の値については、有名なものは覚えておいてほしいのですが、それ以外は問題文に示されているのでそれを利用すればOKです。

(2)について

三角比の変換を利用して三角比の値を求める問題です。

\(\cos145^{\circ}\)の値を

\[
\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta
\]

を利用して求めます。

\(145^{\circ}\)は\(180^{\circ}-45^{\circ}\)と考えることができるので、上の式の\(\theta\)は\(45^{\circ}\)となります。

\(\cos\)の値は\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)とわかっているので、後は符号に気をつけて選択肢から答えを選べばOKです。

(3)について

三角比の符号についての問題です。

\(0^{\circ}\)から\(180^{\circ}\)までのそれぞれの符号について確認しておきます。

下図のようになります。

今回考える三角形は1つの角が鈍角です。

鈍角とは\(90^{\circ}\)より大きい角のことです。

つまり、\(90^{\circ}\)より大きい部分(下図の斜線部)のそれぞれの符号を考えればOKです。

(4)について

余弦定理を利用して長さを求める問題です。

求める長さを文字でおいて、余弦定理の式にあてはめて計算すればOKです。

見分け方としてはわかっているものと求めるものの関係が2辺とその間の角ということから余弦定理を使うと判断するとよいでしょう。

今回\(\cos120^{\circ}\)となるので、負の値になることに注意して計算して下さい。

この余弦定理を利用して長さを求めるような問題は毎年出題されているので確実に解けるようにしておきましょう。

(5)について

正弦定理を利用して長さを求める問題です。

求める長さを文字でおいて、正弦定理の式にあてはめて計算すればOKです。

見分け方としてはわかっているものと求めるものの関係が向かい合う辺と角の2ペアということから正弦定理を使うと判断するとよいでしょう。

この正弦定理を利用して長さを求めるような問題は出題頻度も高いので確実に解けるようにしておきましょう。

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大問6

大問6では代表値、箱ひげ図、分散、散布図の問題が出題されました。

(1)について

代表値に関する問題です。

中央値、平均値、最頻値、範囲といった用語が何を表すのか確認しておきましょう。

また、これらを考える際にデータを小さい順や大きい順など並べ替えておくと考えやすくなります。

(2)について

箱ひげ図の読み取りの問題です。

箱ひげ図のそれぞれどの部分が何を表しているのか確認しておきましょう。

最小値、最大値、中央値、第1四分位数、第3四分位数の位置関係を読み取れるかがポイントです。

箱ひげ図を書かされる問題は出題されていませんが、理解を深めるためにも自分で書けるように練習しておきましょう。

(3)について

平均値と分散を求める問題です。

まず、平均値を求めることで2択に絞ることができます。

次に分散を計算するのですが、問題文に式が示されています。

それぞれの値をあてはめていけばいいのですが、理解を深めるためにも式が与えられていなくても求められるよう練習しておくとよいでしょう。

(4)について

散布図の読み取りの問題です。

適する相関係数を選択肢から選ぶのですが、判断するポイントとして

・右肩上がりか、右肩下がりか
・データはバラけているか、ギュッと集まっているか

をチェックしましょう。

右肩上がりであれば正の相関がありますし、右肩下がりであれば負の相関があります。

また、データがバラけているほど0に近い値になります。

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終わりに

過去問を解く際に参考にしてみて下さい。

詳しい解き方についてはまた別の記事で解説する予定です。

今回はここまでです。

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