【高卒認定試験数学】平成30年度2回目 ポイント解説 大問4〜大問6

前回の続きで大問4〜6についてポイントを解説していきます。

前回の記事はこちらから。

【高卒認定試験数学】平成30年度2回目 ポイント解説 大問1〜大問3
今回は高卒認定試験数学の過去問のポイント解説です。どのような問題が出題されているのか、どのような知識が必要か、どのように解くのがよいのかなど把握して過去問演習をより効果的に行えるようにしましょう。
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大問4

2次関数の最大値・最小値、\(x\)軸との共有点、2次不等式が出題されました。

(1)について

最大値・最小値を求める問題です。

最大値・最小値を考える時はグラフを用いて考えましょう。

与えらている式からグラフをかくと以下のようなグラフがかけます。

下に凸の頂点が\((\ 2\ ,\ 5\ )\)のグラフです。

ここで定義域が\(0≦x≦3\)と与えられているのでこの範囲のみ赤線にしてみると以下のようになります。

すると最大値と最小値がひと目でわかります。

最大値は\(x=0\)のとき、最小値は\(x=2\)の時です。

後はこの時の\(y\)の値を求めればOKです。

定義域の両端の座標を代入して終わり、という人がいますがそれでは今回のように頂点が最小値となる場合に対応することができません。

なので必ずグラフをかいて最大値・最小値を考えるようにしてください。

(2)について

\(x\)軸との共有点を求める問題です。

\(x\)の共有点は\(y\)座標が\(0\)であるので、グラフの式に\(y=0\)を代入して2次方程式を解けばOKです。

問題文に与えられている答えの形からもわかるように因数分解をすることができます。

\[
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
\]

とたすきがけを利用して因数分解をしましょう。

別解として解の公式を利用して解くこともできます。

その場合、符号のミスや計算ミスに十分注意してください。

(3)について

2次不等式の問題です。

2次不等式を解くときもグラフをかいて考えることで視覚的にもわかりやすくなります。

今回問題文にグラフが与えられていますが、無い場合は自分でグラフをかくようにしてください。

考える2次不等式は\(x^2-x<0\)です。

\(y\)の値が0より小さくなる範囲を考えるので以下の図の赤い部分となります。

等号がついていないので\(x\)軸との共有点は白丸で表します。

後はこのグラフの赤い部分の\(x\)の範囲を選択肢から選べばOKです。

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大問5

大問5では三角比、三角比の値、余弦定理、面積の問題が出題されました。

(1)について

三角比を利用して長さを求める問題です。

与えられた図の直角三角形に着目しましょう。

求める長さを\(x\)とおきます。

底辺、対辺、角度の関係であるので\(\tan\)を利用して長さを求めます。

\[
\tan57^\circ = \frac{x}{20}
\]

となるので\(x=\)に変形します。

\[
x= 20\times \tan 57^\circ
\]

を計算すればOKです。

なお、\(\tan57^\circ\)の値は問題文に示されているのでそれを用いてください。

(2)について

三角比の値を求める問題です。

\(\sin 33^\circ\)の値を求めるのですが

\[
\sin (90^\circ – \theta) = \cos \theta
\]

を利用します。

\(33^\circ = 90^\circ – 57^\circ\)であるので

\[
\begin{align}
\sin 33^\circ&=\sin(90^\circ – 57^\circ)\\
&=\cos 33^\circ
\end{align}
\]

となります。

\(\cos 33^\circ\)の値は問題文に与えられているのでそれを利用してください。

(3)について

三角比の値を求める問題です。

\(\sin 120^\circ\)の値は覚えておく必要のある値です。

\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)について、\(0^\circ\)、\(30^\circ\)、\(45^\circ\)、\(60^\circ\)、\(90^\circ\)、\(120^\circ\)、\(135^\circ\)、\(150^\circ\)、\(180^\circ\)の各値は覚えておきましょう。

(4)について

余弦定理の問題です。

求める長さを文字でおいて、余弦定理の式にあてはめて計算すればOKです。

見分け方としてはわかっているものと求めるものの関係が2辺とその間の角ということから余弦定理を使うと判断するとよいでしょう。

この余弦定理を利用して長さを求めるような問題は毎年出題されているので確実に解けるようにしておきましょう。

(5)について

面積を求める問題です。

三角比を用いた三角形の面積を求める式について確認しておきます。

三角形の面積\(S\)は

\[
S = \frac{1}{2}bc\sin A =\frac{1}{2}ab\sin C =\frac{1}{2}ca\sin B
\]

で求めることができました。

ポイントは2辺とその間の角を用いて計算するということです。

この式を利用して面積を求めればOKです。

もちろん、この式を覚えていなくても答えを導くことができます。

小学生の時に学習した「底辺\(\times\)高さ\(\times \frac{1}{2}\)」を利用することを考えます。

以下の図を見てください。

「底辺\(\times\)高さ\(\times \frac{1}{2}\)」を使いたいのですが、赤い部分である高さがわかりません。

そのため、この高さの部分を求めることをまず考えます。

以下の図の青い直角三角形に着目します。

分かっているのは斜辺と角度であり、求めたい高さの部分と合わせて考えると\(\sin\)の関係を使えばよいことがわかると思います。

\[
\sin 30^\circ = \frac{h}{4}
\]

であるで\(h=\)に直すと

\[
h=4\times \sin 30^\circ
\]

です。

これで高さがわかったので「底辺\(\times\)高さ\(\times \frac{1}{2}\)」を使うと

\[
S=6 \times 4\times \sin 30^\circ \times \frac{1}{2}
\]

となり、後はこれを計算すればOKです。

これは先程の三角比を用いた三角形の面積を求める公式を導き出す過程となっています。

このように、公式だけではなく、その導く過程を理解しておくと公式を忘れたときにでも対応することができます。

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大問6

代表値、箱ひげ図、分散、散布図について出題されました。

(1)について

代表値についての問題です。

中央値はデータが奇数個であるので真ん中のデータを選べばOKです。

平均値については各データの和をデータの個数で割ればOKです。

(2)について

箱ひげ図の問題です。

与えられたデータの箱ひげ図として正しいものを選びます。

箱ひげ図について、それぞれの値が箱ひげ図のどこに表れるのか以下の図を確認しておいてください。

まずは、データを小さい順に並べましょう。

そして、最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値を確認します。

後はそれらを正しく表している箱ひげ図を選べばOKです。

(3)について

分散を求める問題です。

分散について式が与えられているのでそれを利用して求めればOKです。

分散を求める際に平均値も必要となりますが、今回は問題文に与えられているのでわざわざ計算して求める必要はありません。

(4)について

散布図の問題です。

読み取りのポイントとして

・右肩上がりか、右肩下がりか
・データはバラけているか、ギュッと集まっているか

をチェックしましょう。

右肩上がりであれば正の相関がありますし、右肩下がりであれば負の相関があります。

また、データがバラけているほど0、右肩上がりでギュッと集まっているほど1、右肩下がりでギュッと集まっているほど-1に近い値になります。

これを合わせると、右肩上がりで1に近いほど正の相関が強く、右肩下がりで-1に近いほど負の相関が強く、0に近いほど相関がないということになります。

散布図からどのような相関があるのかを判断し、選択肢から正しい記述を選びましょう。

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終わりに

過去問を解く際に参考にしてみて下さい。

詳しい解き方についてはまた別の記事で解説する予定です。

今回はここまでです。

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