【中1数学】方程式の解き方 ―その1

今回から中1の方程式の説明をしていきます。
等式の性質を使うので以下の記事で確認しておいて下さい。

【中1数学】 等式の性質 ―4つの性質をマスターしましょう。
今回の中1数学の解説は等式の性質についてです。4つの性質をマスターしましょう。この等式の性質は方程式を解く時にも活躍するので確認していきましょう。
・方程式って何?
・方程式の解き方がわからない

という人は今回の記事を読んで

・方程式とは
・方程式の解き方

をマスターしましょう。
※解き方については複数回にわたって解説していきます。

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方程式とは

まずは方程式とは何かについてです。

まずはポイントから。

方程式
ある値を式に代入すると成り立つ等式

例えば
\[
10-x=4
\] という等式があったとします。

この等式の\(x\)に6を代入してみます。
なお、代入が心配という人は以下の記事を確認して下さい。

【中1数学】文字と式 式の値の求め方は2STEPです。
式の値の求め方についてです。求め方は2つのSTEPがあります。具体例を見ながらポイントをおさえるようにしましょう。また、代入のイメージを持つことも重要です。

すると左辺は
\[
\begin{align}
左辺&=10-6\\
&=4
\end{align}
\] となります。

右辺については
\[
右辺=4
\] であるので、\(x\)に6を代入したところ

左辺=右辺

となり等式が成立しています。
このようにある値を代入した時に成り立つ等式方程式といいます。

そして文字に代入して等式を成り立たせる値を「方程式の解」といいます。
今回の方程式の解は\(x\)に代入した6です。

また、方程式の解を求めることを「方程式を解く」といいます。

では、次は方程式の解き方についてです。

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方程式の解き方

それでは方程式の解き方を解説していくのですが、極論をいえば1つ1つ値を文字に代入して計算して探していく、という方法でも解けなくはないです。

最初に示した簡単な方程式であればすぐ見つかるかもしれません。

しかし、方程式が複雑になればなるほど、1つ1つ当てはめていては時間がいくらあっても足りません。
勉強が進めば進むほど、当てはめて解ける問題はなくなっていきます。

では、どのように解くのがよいのか解説していきます。

ここでポイントとなるのが等式の性質です。

等式の性質を利用した方程式の解き方

等式の4つの性質を確認のため示しておきます。

等式の性質
・\(A+C=B+C\)
・\(A-C=B-C\)
・\(A\times C=B\times C\)
・\(A\div C=B\div C\)

では具体的な例を用いて解説していきます。

\[
3+x=6
\]

この方程式を解いてみます。
等式を成り立たせるような文字の値を求める、つまり\(x\)の値がいくつになるかを考えます。

\(x\)の値が欲しいわけなので、最終的な形として

\[
x=
\]

の形になっていればOKです。
この形になるよう等式の性質を使って式を変形させていきます。

すると、左辺の3が\(x=\)の形にする上で邪魔であることに気づくと思います。
この3を消すことを考えましょう、

では、どうすれば3が消えるかと言うと、3を引いてあげれば方程式の左辺は

\[
3-3+x
\]

となり、計算すれば左辺が\(x\)のみになりますね。

ここで、等式の性質を思い出してください。

等式は片方の辺になにかした場合、もう片方の辺にも同じことをしなければ等式が成立しません
つまり、左辺から3を引いたら、右辺からも3を引く必要があります。

\[
A-C=B-C
\]

この性質を使いました。

これで\(x=\)の形にすることができ、解を求めることができました。

移項

先程の例の方程式を解く時に、両辺から3を引くことで\(x=\)の形にする上で邪魔な3を消しました。

このようような両辺から何かを引く、または両辺に何かを足す場合に便利な方法があります。

それは「移項」という方法です。

この方法を使うと、わざわざ両辺に足したり引いたりする手間を省くことができます。

では、移項はどのようにするかというと

\(x=\)の形にする上で邪魔な項の符号を逆にして、反対の辺に移す

これが移項の方法です。
「項を移す」ので移項です。

では具体例を使って説明していきます。

\[
x-2=5
\]

この方程式を移項を使って解いてみます。

まず、\(x=\)の形にする上で邪魔になるのは左辺の−2の項ですね。
この項の符号を反対にし、右辺に移します。

-の反対は+なので、+2にして右辺に移動して

\[
\begin{align}
x-2&=5\\
x&=5+2\\
x&=7
\end{align}
\]

となり、解を求めることができました。
このようにして移項をします。

では、なぜ移項をすると符号が反対になるのでしょうか?
その理由を説明していきます。

移項をすると符号が反対になる理由

この移項すると符号が変わる理由が先程示した計算のように等式の性質を利用しているためです。
慣れてきたら一気に移項して考えてもよいのですが、どういった理由で移項ができるのかも理解しておいてください。

また、移項を使う時に注意があります。
それは

符号を逆にするのを忘れない

ということです。
よく、符号を逆にしないで移項するミスをしてしまう人がいるので、注意して下さい。

両辺に文字がある場合

さて、これまでは片方の辺のみに文字が含まれていました。

では、両辺に文字ががある場合はどうしたらよいでしょう?

これも同じようにして等式の性質を使って解いて行けばOKです。

\[
9-x=x+1
\]

この方程式で考えてみましょう。

片方の辺を\(x=\)にしたのですが、両辺に\(x\)があるので、片方の\(x=\)も移項する必要があります。

少し丁寧にやってみます。

まず\(x\)を移項しました。
繰り返しますが移項をしたら符号が変わります。

次に1を移項しました。

そして計算すると、左辺は数のみ、右辺は文字のみの等式になりました。

このように、方程式は片方の辺に求める文字、もう片方の辺にそれ以外のものを集めます。

これで方程式が解けた!

と思ってはいけません。

まだ、解は求まっていません。
\(x\)の前に係数である2がありますね。

このままだと、最終的な形である\(x=\)にはまだなっていません。

では、この2をどうすればよいかというと、等式の性質をまた使います。

ここで使うのは

\[
A\times C=B\times C
\]

この性質です。

ではどうするかというと、解を求めるために\(2x\)を\(x\)にしたいわけです。

文字式の性質について思い出してください。

\(x\)は\(1x\)の1が省略されているものでした。

忘れている人は、この記事を確認してみたください。

【中1数学】文字式とは何か、そして表し方のルールは5つです
中1数学の文字と式の解説です。今回は文字式とは何か、そしておさえておきたい文字式のルールについて説明しました。中学数学でいきなり現れてくる文字に苦手意識を持つ人も多いのではないでしょうか?まずは、そのような悩みから解決していきます。

つまり、2に何かをし1にしたいので

\[
\displaystyle 2\times \frac{1}{2}=1
\]

このように2の逆数をかけます。
すると、2が約分され1にすることができます。

よって両辺に\(\frac{1}{2}\)をかけてあげればOKです。

これで、\(x=4\)となり、解が求まりました。

もちろん

\[
A\div C=B\div C
\]

この等式の性質を使い、\(\div 2\)してもOKです。

ここで「2から1を引いてもいいのでは?」と思う人がいるかもしれません。

答えは「ダメ」です。
これはよくある間違いなので説明しておきます。

なぜ、このように計算できないかというと

文字は同じ文字同士の項でないと足し算と引き算ができない

からです。
文字式の計算の記事でも解説してあるので忘れいる人は確認しておいて下さい。

【中1数学】文字式の計算のやり方のポイントを解説
文字式の計算についてです。加法・減法・乗法・除法について解説していきます。ポイントをおさえたら後は演習をしてやり方をマスターしましょう。

このように、計算してしまう間違えです。

代入のところでに示した「文字=箱」のイメージを使って考えてもOKです。

このイメージを用いて\(2x\)から2を引いてはいけない理由を考えると

このようになります。

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まとめ

今回はここまでです。

方程式
ある値を式に代入すると成り立つ等式
方程式の解
文字に代入した時に等式を成り立たせる値
方程式を解く
方程式の解を求めること

解き方のまとめについては方程式の解き方が一段落したらまとめるので今回はなしです。

次回は、小数や分数が含まれる方程式などについて解き方を解説していきます。

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