【中1数学】 「立体の表面積」について【空間図形】

今回の中1数学解説は空間図形から「立体の表面積」について解説していきます。

・角柱の表面積の求め方が苦手

という悩みを解決していきます。

今回の記事では

・角柱・円錐の表面積の求め方
・立体の表面積を求める際の考え方

について解説していきます。

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立体の表面積の求め方

立体の表面積とは立体の表面全体の面積のことをいいます。

立体の表面積の公式も一応示しますが、考え方を理解することができていればわざわざ公式を覚える必要はありません。

なので、求めるまでの考え方を特に注意して読み進めてください。

それでは角柱、円錐それぞれの表面積の求め方を確認していきます。

角柱の表面積

まずは角柱の表面積についてです。

例として四角柱(直方体)を使って説明していきます。

以下の図のような四角柱(直方体)の表面積を求めます。

求め方としてはまず四角柱(直方体)の展開図を考えることがポイントです。

以下の図の赤色が底面、青色が側面です。

赤い部分の面積、つまり底面の面積底面積、青い部分の面積、つまり側面の面積側面積といいます。

この底面積と側面積とを合わせたもの表面積となります。

それではそれぞれの面積を求めてみます。

<底面積>

底面は長方形が2つです。

よって

\[
3\times5\times2=30\ \ \ \mbox{[cm\(^2\)]}
\]

です。

<側面積>

側面積は長方形が4つですが、青い部分全体の1つの長方形と考えて面積を求めます。

縦は\(5+5+3+3=16\)[cm]で、横は\(10\)[cm]です。

よって

\[
16\times10=160\ \ \ \mbox{[cm\(^2\)]}
\]

です。

<表面積>

表面積は底面積と側面積を合わせたものなので

\[
30+160=190\ \ \ \mbox{[cm\(^2\)]}
\]

となり、表面積を求めることができました。

今回は四角柱(直方体)を例にとって説明しましたが、他の角柱も同じようにして計算することができます。

考え方をまとめると

①展開図を考える
②底面積、側面積をそれぞれ求める
③底面積と側面積を足し合わせる

となります。

②、③をひとまとめにして公式にすると

表面積=底面積\(\times2\)+側面積

となります。

底面が2個あるので、底面積\(\times2\)となっています。

円錐の表面積

次に円錐の表面積についてです。

以下の図のような円錐の表面積を求めてみましょう。

先程と同様に展開図を考えます。

すると、おうぎ形が側面、円が底面となります。

底面積と側面積を合わせたものが表面積であるのでそれぞれ求めていきましょう。

<底面積>

底面は半径\(4\)[cm]の円であるので

\[
4^2\times \pi=16\pi\ \ \ \mbox{[cm\(^2\)]}
\]

となります。

<側面積>

側面は中心角\(120^{\circ}\)、半径\(12\)[cm]のおうぎ形であるので

\[
\begin{align}
12^2\times \pi \times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}&=12\times 12 \times \pi \times \frac{1}{3}\\ \\
&=4\times 12 \times \pi\\ \\
&=48\pi\ \ \ \mbox{[cm\(^2\)]}
\end{align}
\]

となります。

おうぎ形の面積の求め方が不安な人は以下の記事で確認してください。

【中1数学】 「おうぎ形の弧の長さと面積」について【平面図形】
今回の中1数学の解説は平面図形から「おうぎ形の弧の長さと面積」についてです。おうぎ形の弧の長さや面積についての求め方を確認していきましょう。

<表面積>

表面積は底面積と側面積を合わせたものなので

\[
16\pi + 48\pi =64\pi\ \ \ \mbox{[cm\(^2\)]}
\]

となり、表面積を求めることができました。

考え方は角柱のときと同様に

①展開図を考える
②底面積、側面積をそれぞれ求める
③底面積と側面積を足し合わせる

です。

②、③をひとまとめにして公式にすると

表面積=底面積+側面積

となります。

円錐の場合、角柱のように底面が2つないので底面積を2倍する必要はありません。

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まとめ

それでは今回のまとめです。

立体の表面積の考え方
   ①展開図を考える
   ②底面積、側面積をそれぞれ求める
   ③底面積と側面積を足し合わせる

角柱の表面積
   表面積=底面積\(\times2\)+側面積

円錐の表面積
   表面積=底面積(円)+側面積(おうぎ形)

今回はここまでです。

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