【高卒認定試験数学講座】整式の整理【数Ⅰ/数と式】

今回から高卒認定試験に必要となる数Ⅰの解説をしていきます。

中学の内容についても必要なものについては復習をしていくので初学者でも問題なく学習できるかと思います。

この記事では「数と式」から整式の整理について学習していきます。

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中学の復習

まずは中学校の内容の復習をしておきます。

ここでは、単項式、多項式、項、次数、同類項について確認するので、これらの内容が大丈夫という人は飛ばしてもらっても構いません。

もしくは以下の記事でも説明しているのでこちらを読んでもらってもOKです。

【中2数学】 「単項式・多項式」について【式の計算】
今回の中2数学の解説は式の計算から「単項式・多項式」についてです。単項式とは何か、多項式とはなにか、多項式の項の見つけ方、それぞれの次数の判断の仕方を解説していきます。
【中2数学】 「同類項・同類項の加減」について【式の計算】
今回の中2数学の解説は式の計算から「同類項・同類項の加減」についてです。同類項とは何か、同類項の加減はどのようにやるのか、注意点は何かについて解説していきます。

単項式と多項式

単項式、多項式が何かについて説明していきます。

Point

単項式・・・数や文字の積(かけ算)として表される式
多項式・・・単項式の和(たし算)の形で表された式

\(2x\)や\(-3a\)のように数や文字の積(かけ算)で表される式単項式といいます。

そして\(x + 3y\)のような単項式の和(たし算)の形で表したもの多項式といいます。

また\(-2a – 3b – 5c\)のように差(引き算)で表されていても多項式です。

これをかっこを使って少し形を変えてみると

\[
-2a – 3b – 5c = -2a + (-3b) + (-5c)
\]

というように和の形に直すことで、差が含まれていても多項式と考えることができます。

項、次数、同類項

Point

項・・・多項式をつくる1つ1つの単項式
次数・・・単項式の場合 → かけ合わされている文字の個数
多項式の場合 → 多項式の項の中で次数が最も大きいもの
同類項・・・文字と次数が同じ項

多項式をつくる1つ1つの単項式といいます。

例えば\(x^2 – 2x + 3\)の項を考えます。

まず、多項式をかっこを使って和の形に直します。

\[
x^2 – 2x + 3 = x^2 + (-2x) + 3
\]

すると\(x^2\)、\(-2x\)、\(3\)の単項式が+でつながれていることがわかります。

よって、この多項式の項は\(x^2\)、\(-2x\)、\(3\)となります。

次に次数についてです。

単項式の次数はかけ合わされた文字の個数となります。

例えば\(12a^3\)であれば、

\[
12a^3 = 12\times a\times a \times a
\]

と\(a\)が3回かけられているので次数は3となります。

そして次数が3の式のことを3次式といいます。

もちろん、次数が3以外のときでも同じように考えます。

次数が1なら1次式、次数が2なら2次式・・・となっていきます。

多項式の場合はどうでしょうか?

多項式は単項式がいくつかあるので「次数がいくつもあるのかな?」、「全ての次数を足すのかな?」など迷ってしまうかもしれません。

ですが大丈夫です。

多項式の次数は多項式の項の中で1番大きな次数がその多項式の次数となります。

\(2x^2-3xy+9y^3\)という多項式を考えてみます。

この多項式を

\[
2x^2-3xy+9y^3-4 = 2x^2+(-3xy)+9y^3
\]

と和の形に直して項を考えると\(2x^2\)、\(-3xy\)、\(9y^3\)です。

次にそれぞれの項を考えます。

\(2x^2\)は\(2x^2=2\times x\times x\)と\(x\)が2回かけられているので次数は2です。

\(-3xy\)は\(-3xy=−3\times x\times y\)と\(x\)と\(y\)の2つがかけられているのでこれも次数は2です。

\(9x^3\)は\(9y^3=9\times y\times y\times y\)と\(y\)が3回かけられているので次数は3です。

よってこの多項式の次数は3であり、3次式となります。

最後に同類項についてです。

同類項とは文字と次数が同じ項のことをいいます。

例えば\(2x\)と\(-9x\)は文字がどちらも\(x\)であり、次数がどちらも1であるので同類項です。

では\(3a^2\)と\(5a\)は同類項でしょうか?

確かに文字はどちらも\(a\)が使われています。

しかし、次数が異なります

\(3a^2\)は次数が2、\(5a\)は次数が1です。

これらは文字は同じですが同類項ではないので注意してください。

あくまで文字と次数が一致している項が同類項です。

少し長くなってしまいましたがこの記事での中学の内容の復習は終了です。

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整式の整理

Point

整式・・・単項式と多項式を合わせたもの
整式を整理する・・・整式の同類項をまとめること
降べきの順・・・項の次数が高い順に並べること
昇べきの順・・・項の次数が低い順に並べること

整式とは単項式と多項式を合わせたものをいいます。

例えば\(4x^2+2x-10+3x-7-2x^2\)のような式です。

この\(4x^2+2x-10+3x-7-2x^2\)という整式ですが、同類項がありますね。

この整式の同類項をまとめること整式を整理するといいます。

では実際に整理してみましょう。

同類項をそれぞれ集めてから計算するとやりやすくなります。

\[
\begin{align}
4x^2+2x-10+3x-7-2x^2&=4x^2-2x^2+2x+3x-10-7\\
&=2x^2+5x-17
\end{align}
\]

と整理することができます。

次に降べきの順昇べきの順についてです。

これらは、整式の同類項をまとめたときに、1つの文字に注目して項の順番を並べ替えることをいいます。

降べきの順であれば注目している文字の次数の高い方から並べることで、昇べきの順であれば注目している文字の次数の低い方から並べることです。

この操作を降べきの順に整理する昇べきの順に整理するといったりもします。

この降べきの順、昇べきの順に整理するときは、着目する文字以外は定数として考えます

文字が含まれているのに定数?と違和感を感じるかもしれませんが、整式の順番を変えるだけですので文字が別のものに変わっているわけではないので安心してください。

では、具体例を使って考えてみましょう。

\(2a^2+a-3x-4a+2-x\)という式を\(a\)について降べきの順、昇べきの順に整理してみます。

このように文字が複数ある場合はどの文字について着目するのかは指示されることが多いのでその指示に従えばOKです。

また、文字が1種類しかない場合は、その文字について着目するようにしてください。

まずは、降べきの順からです。

次数の高い順にし、今回\(x\)は定数とみなすので

\[
\begin{align}
2a^2+a-3x-4a+2-x&=2a^2+a-4a-3x-x+2\\
&=2a^2-3a-4x+2
\end{align}
\]

となります。

この時、定数項(定数のみの項)は\(-4x+2\)です。

このように降べきの順について整理するときは、次数の高い同類項から順に集めて計算していくと、最後に並べ替える必要がないので楽です。

次に昇べきの順についてです。

今度は次数が低い方から順に並べるので、次数の低い同類項から順に集めて計算していきましょう。

\[
\begin{align}
2a^2+a-3x-4a+2-x&=-3x-x+2+a-4a+2a^2\\
&=-4x+2-3a+2a^2
\end{align}
\]

となります。

最後にもう1問だけやっておきます。

\(3y^2+4xy-3y+2x+18-2y^2\)を\(y\)について降べきの順に整理してみます。

\(y\)について着目するので\(x\)は定数として扱います。

すると\(4xy\)という項についてどうすればよいのか迷ってしまうかもしれませんが以下のように計算します。

\[
\begin{align}
3y^2+4xy-3y+2x+18-2y^2&=3y^2-2y^2+4xy-3y+2x+18\\
&=y^2+(4x-3)y+2x+18
\end{align}
\]

となります。

\(4xy\)の\(x\)は定数として扱いますが、\(y\)がついているので\(y\)の1次式として計算します。

すると、同類項の\(-3y\)とまとめることになります。

しかし、\(4x-3\)はこれ以上計算することができませんのでそのままにしておくことになります。

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まとめ

今回はここまでとなります。

整式の整理の仕方は理解できたでしょうか?

降べきの順と昇べきの順についても学習しましたが特に指定がない場合には降べきの順で整理します。

次回は整式の加法(足し算)、減法(引き算)について学習していきます。

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