高卒認定試験数学 ポイント解説と勉強法 因数分解ついて 【大問1】

今回の高卒認定試験数学の解説は因数分解についてです。

中学校でも習う因数分解ですが、数Ⅰでも登場します。
そして、2次関数などでも因数分解は活躍します。

それでは

・因数分解とは何かわからない
・因数分解のやり方がわからない

という疑問に答えていきます。

この記事では

・因数分解について
・因数分解の方法の流れ
・因数分解の出題と勉強法

について解説していきます。

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高卒認定試験数学 因数分解とその方法

まずは因数分解とは何かについてです。
そして、因数分解の方法と流れについても説明していきます。

なお、高卒認定試験数学の対策にに絞って説明していきます。

因数分解とは?

まずは、因数分解とはなにかについてです。

因数分解は簡単にいえば展開の逆です。
つまり

整式をいくつかの整式の積(かけ算)の形にする

ことをいいます。

因数分解は展開公式を利用するので、不安な人は確認しておきましょう。
簡単に解説した記事を以下に示しておきます。

高卒認定試験数学で必須な因数分解の公式

展開公式を逆から見たものが因数分解の公式になります。

そして、高卒認定試験数学で必須となる因数分解の公式が

\[
x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
\]

の2つです。
まずはこの公式をおさえておきましょう。

因数分解の流れ

因数分解の方法の前に解く時に意識する流れを紹介しておきます。

  1. 共通因数でくくる。
  2. 公式を利用する。

この順で考えるようにして下さい。

因数分解の方法

それでは、因数分解の方法について説明していきます。
共通因数をくくる方法と公式を利用する方法について説明していきます。

共通因数をくくる

まずは、共通因数について確認しておきます。

共通因数とは

各項に共通する因数

のことです。
そして、因数とは

文字式や数を積の形にした時のその個々の数や式

のことをいいます。
因数は

その文字式や数の約数

と考えてもよいです。

例えば\(20a^2bc\)を積の形で表し因数を探すと以下のようになります。

因数分解をする時、共通因数が式にある場合はくくるようにしましょう。

では、具体例を使って考えていきます。

\[
10ac+5bc^2
\]

の共通因数をくくってみます。

まずは、それぞれの因数を考え、共通しているものを見つけます。
そして、その共通しているもので式をくくります。
この時、分配法則と逆の操作を行います。

となります。
くくった後の式を分配法則を用いて展開した時に元に戻れば正しくくくれています。

公式の利用

例えば

\[
x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
\]

のように因数分解するのであれば

このように考えます。

①\(ab\)となる組み合わせ、②その中で\(a+b\)になる組み合わせの順で考えます。

「かけて」→「足して」

の順です。

では、具体例を使って説明していきます。

\[
x^2+7x+12
\]

この因数分解を考えてみます。

まずは共通因数を確認しますが、共通因数はないので

このように組み合わせを見つけて

\[
\begin{align}
x^2+7x+12&=x^2+(3+4)x+3\times4\\
&=(x+3)(x+4)
\end{align}
\]

というように因数分解をします。

組み合わせを考える時は、

まずは整数の範囲で考える

ようにしましょう。
もし整数の範囲で見つからない場合は、分数なども考えるようにします。

いくつも組み合わせがあって大変な場合もありますが、初めのうちは組み合わせをどんどん書いて考え試行錯誤してみましょう。

慣れてくると、「この組み合わせかな」と予想がついてくるようになります。

組み合わせをできるだけ少ない範囲で考えるコツの1つを今回の場合の例を使って以下に示しておきます。
気になる人は以下を開いて下さい。

続きを読む
かけて正の数になるのは「正の数同士」または「負の数同士」の時です。

この「正の数と正の数」、「負の数と負の数」の組み合わせで足して正の数になるのは、「正の数と正の数」の組み合わせです。

従って、考える組み合わせとしては正の数だけを考えればよいことになります。

このようにして、考える範囲を狭められると因数分解を早く解くことにつながります。

次は

\[
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
\]

の因数分解です。

このように、①\(ac\)なる組み合わせ、②\(bd\)になる組み合わせ、③その中で\(ad+bc\)になる組み合わせの順で考えます。

こちらも具体例を使って説明していきます。

\[
6x^2-x-12
\]

の因数分解を考えてみます。まずは共通因数を確認しますが、これも共通因数はありません。

次に、以下のように①かけて6となる組み合わせ、②かけて−12となる組み合わせを見つけます。

これらを組み合わせて−1となる組み合わせを探していきます。
このままだと組み合わせが多すぎて大変です。

そこで、見つけ方ですが

のようにしていきます。

この方法を「たすき掛け」といい、このたすき掛けを利用して③−1になる組み合わせを探していきます。

探す時のポイントは

共通の因数でくくれないような組み合わせを考える

です。

なぜかというと、例えば以下のように組み合わせが決まったとします。

すると\(6x+12)\)の方は\(6(x+2)\)と6でまだくくれます。

すると、因数分解前の式も6でくくれなければならないことになりますが、初めに共通因数がないか確認しているので誤りということがわかります。

共通因数を最初に確認するのはこのような役割もあるからです。

共通因数でくくれないような組み合わせを考えると

\[
6x^2-x-12=(2x-3)(3x+4)
\]

と因数分解することができます。

もう少し細かく答えを絞る考え方を以下に示しておいたので気になる人は開いて下さい。

続きを読む
最初に見つけた①かけて6となる組み合わせ、②かけて−12となる組み合わせを1つ1つ試していってもよいのですが、量も多く時間もかかってしまいます。

実際の試験でもこれを全て確認する時間はないです。
なので、ある程度組み合わせをしぼりながら考えます。

まず、\(ac\)についてです。 \(ac\)の組み合わせは8通りありますが、ここである程度考える範囲を絞ります。

どう絞るかというと

正の数同士の組み合わせを考える」 

です。

かけて正の数になるのは「正の数同士」または「負の数同士」のときです。

もちろん、負の数同士の可能性もありますが考える範囲が広まってしまうので、まずは正の数同士の組み合わせから考えればOKです。

これで\(ac\)の組み合わせが4通りになりました。

さらに、\(a=6,c=1\)と\(a=1,c=6\)は最終的な結果の( )の積の順が変わるだけなので、片方の組み合わせのみ考えればOKです。
答えをマークする時に、( )の順番を合わせてください。

同様の理由で、\(a=2,c=3\)と\(a=3,c=2\)についても片方だけ考えればOKです。

これで、\(ac\)の組み合わせは2通りにまで絞れました。
そして

共通の因数でくくれないような組み合わせを考える

を利用すると

このように絞ることもできます。

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高卒認定試験数学 因数分解の出題と勉強法

それでは、出題と勉強法の説明です。

因数分解の出題

高卒認定試験数学での因数分解の出題は4回あります。そして問われているのは

\[
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
\]

の因数分解です。

この因数分解を優先的にやって欲しいのですが、他の分野でも因数分解は利用するので、これ以外の因数分解も必ずできるようにして下さい。

因数分解の勉強法

因数分解の勉強法ですが

  1. 展開の確認
  2. 因数分解の方法の理解
  3. 因数分解の練習

の順にやるようにしましょう。
展開の式が理解できていないと因数分解をするときに困るので、不安な人はまずは展開から確認して下さい。

そして、因数分解を練習していきましょう。
始めのうちは組み合わせを見つけるのに苦戦すると思いますが、数をこなしていくと早く解けるようになってくるので、何度も演習をしてみて下さい。

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まとめ

それでは今回のまとめです。

・因数分解の流れ
 1.共通因数でくくる。
 2.公式を利用する。

・たすき掛けのポイント
 ( )内が共通因数でくくれないように組み合わせを考える。

・展開の式を理解してから因数分解に取り組む。

スムーズに因数分解ができることを目指していきましょう。

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