高卒認定試験数学 ポイント解説と勉強法 展開ついて 【大問1】

高卒認定試験数学のポイント解説と勉強法です。
今回は「展開」についてポイント解説と勉強法を説明していきます。

なお、前回の解説は整式の加法・減法についてでした。
以下の記事で確認して下さい。

高卒認定試験数学 ポイント解説と勉強法 整式の加法・減法ついて 【大問1】
高卒認定試験数学の解説です。今回は大問1の整式の加法・減法について勉強法や解き方のポイントを説明します。計算ミスを防ぐための注意や立式のポイントを説明したので参考にしてください。

今回の展開ですが

公式がたくさんあって覚えられない

という人もいるのではないでしょうか?
実は、教科書や参考書に載っている公式を覚えなくても大丈夫です。
考え方さえ理解できていれば、自分で導き出すことができるからです。

今回の記事では

  • 展開の公式の考え方
  • 勉強法
  • 解き方のポイント

について解説していきます。

スポンサーリンク

高卒認定試験数学 展開の公式の考え方

展開の公式がいくつもありますが、もちろん覚えて当てはまれば早く解くことができます。
しかし、覚えることが苦手な人にとっては大変でしょう。
また、ただ式を覚えるのは納得出来ないという人もいるかもしれません。

結論からいえば、分配法則を使えば展開公式は導くことができます。

さらに、どのようにして公式が導き出されたのかがわかっていたほうが、ただ覚えるよりも理解もしやすいです。

それでは、分配法則について復習をして、その後どのようにして利用して導くのかを示していきます。

分配法則の復習

導出の前に分配法則について簡単に復習しておきましょう。

\[
a(b+c)=ab+ac
\]

が成り立つのが分配法則でした。

この分配法則を利用して展開公式を考えていきます。

なお、分配法則の考え方ですが、かけ算の考え方を使います。
例えば

\[
9\times6=9+9+9+9+9+9
\]

でした。\(9\times6\)は9を6個足したものと同じという考え方を、分配法則でも利用します。
つまり、\((b+c)\)が\(a\)個足されていると考えます。

そして、足し算は順番を入れ替えても計算結果が変わらないので、\(b\)、\(c\)をそれぞれまとめると

となります。
つまり、\(b\)が\(a\)個、\(c\)も\(a\)個あるのでかけ算で表すと

\[
(b+c)\times a=ab+ac
\]

と分配法則の形になります。
同じように考えれば

\[
a(b+c+d)=ab+ac+ad
\]

のように( )の中の項が増えても計算することができます。

展開公式の導出

それでは、展開公式の導出です。
まず、中学から高校までに習う展開公式をまとめてみると

  • \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
  • \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
  • \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
  • \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
  • \((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
  • \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
  • \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
  • \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

このようになります。

考え方その1

よくある説明として

このようにかけ合わせていくというものがあります。
見たことある人もいるのではないでしょうか?
この方法で導くことができるという人は、もちろんそれで構いません。

しかし、納得できないという人もいると思うので、分配法則を使って説明していきます。

考え方その2(分配法則の利用)

それでは、分配法則を使って説明していきます。
先程の例である

\[
(x+a)(x+b)
\]

を使うのですが、よく知る分配法則の形である

\[
a(b+c)
\]

と( )の数が違います。
では、どうすればよいかというと

片方の( )を文字でおく

ということをします。
具体的にやると、\((x+a)(x+b)\)の\((x+a)\)を\(Z\)とおいてみます。
すると

\[
Z(x+b)
\]

となり、見慣れた形になりましたね。
では、分配法則を使って

\[
Z(x+b)=Zx+Zb
\]

となります。
ここで\(Z=(x+a)\)であるのでもとに戻して、さらに分配法則を使い

\[
\begin{align}
Zx+Zb&=x(x+a)+b(x+a)\\
&=x^2+ax+bx+ab\\
&=x^2+(a+b)x+ab
\end{align}
\]

となり導くことができました。

このように、片方の( )を文字でおいて分配法則を利用することで公式を導くことができます。

2乗のものについては

\[
(a+b)^2=(a+b)(a+b)
\]

のようにし、片方をおいて同様に分配法則を用いればOKです。
また、3乗のものについては

\[
(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)
\]

であるので

のように段階をふんで分配していけばOKです。

ぜひ、一度どの方法でも良いので公式を自力で導く練習をしてみて下さい。

スポンサーリンク

高卒認定試験数学 展開の勉強法

次に、展開の勉強法についてでです。
どのような問題が出題されているのかを確認してから勉強法について説明していきます。

展開の出題について

まずはどのような問題が出題されているのか確認していきます。

6回展開の問題が出題されていますが

\((x+y+z)(x-y+z)\)のような( )の中が3項の積

の問題が5回出題されています。
もう1回は\(a(a+b)(a+c)\)のような3つの文字式の積が出題されています。

多く出題されているものだけ練習しておけば大丈夫なんじゃないか?

と思われるかもしれませんが、他の展開公式についても理解しておく必要があります。
理由としては、因数分解など他の学習でも展開公式は必要となるからです。

勉強法について

それでは勉強法についてですが

  1. 自分で公式を導き出せるようにする
  2. 練習問題を解く

という流れでOKです。
分配法則を利用して、手を動かして公式をまずは自力で導出できるように練習して下さい。
その後は、教科書の問題や問題集を解いてもらえば大丈夫です。

その時、早く正確に解くことを意識して下さい。

試験時間は限られているので、展開のような計算問題を早く解けるようにしておくと、他の問題に時間を回すことができます。

スポンサーリンク

高卒認定試験数学 展開の解き方のポイント

では、解き方のポイントを説明していきます。

基本的に公式に当てはめる、または分配法則を利用して展開するというどちらかの方法で解いていきます。

もちろん公式を覚えていなくても、導き方が理解できていれば同じようにして計算することができます。

中には工夫することで計算が楽になる場合があるので、解説していきます。

工夫して置くことで計算を簡単にする

\[
(x+y+z)(x-y+z)
\]

このような問題で工夫して計算することができます。
( )内の順番を入れ替えて

\[
(x+z+y)(x+z-y)
\]

とします。そして\(x+z\)を\(A\)とおいてみます。
すると

\[
(A+y)(A-y)
\]

となり、\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)が使える形になりました。

\[
(A+y)(A-y)=A^2-y^2
\]

\(A=x+z\)であるので、もとに戻して

\[
(x+z)^2-y^2=x^2-y^2+z^2+2zx
\]

と計算することができます。
このように工夫することで計算が簡単になり、計算ミスを防ぐことにもつながります。

問題を見たときに、このような工夫が利用できないか探してみて下さい。

スポンサーリンク

まとめ

それでは今回のまとめです。

  • 分配法則を利用することで、展開の公式は導くことができる。
  • 自力で導く練習をする。
  • 文字でおくことで計算が簡単になることがあるので、問題文の式を確認する。

これらのことを意識して展開の勉強や問題に取り組んで下さい。

コメント

タイトルとURLをコピーしました