高卒認定試験数学 ポイント解説と勉強法 有理化ついて 【大問1】

高卒認定試験数学のポイント解説と勉強法です。
今回は「有理化」と「平方根で表された数の計算」についてポイント解説と勉強法を説明していきます。

なお、前回の解説は「展開」についてでした。
以下の記事で確認して下さい。

高卒認定試験数学 ポイント解説と勉強法 展開ついて 【大問1】
高卒認定試験数学の解説です。今回は大問1の展開について勉強法や解き方のポイントを説明します。分配法則を利用すれば、多くある公式を覚えなくても済むので、その両方を確認していきましょう。
・有理化とは何か?
・有理化はどのようにするのか?

という疑問に答えていきます。
この記事では

・有理化について
・有理化の仕方
・有理化の勉強法
・有理化の解き方
・平方根で表された数の計算

について解説していきます。

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高卒認定試験数学 有理化とその方法

まずは有理化とは何かについてです。
そして、有理化の方法についても説明していきます。

有理化とは?

有理化とは何か簡単に説明すると、分母に根号がついている数を含んでいるものを

分母に根号がついた数を含まない形にする

ということです。

なお、根号とは「√」のことです。

例えば

\[
\frac{1}{\sqrt{3}}
\]

は分母に根号がついた数が含まれています。これを有理化すると

\[
\frac{\sqrt{3}}{3}
\]

となります。

では、どのように有理化をするかについて説明していきます。

有理化の方法

有理化をする上で必要となる知識として、平方根の積があります。
これは

\(a≧ 0,b≧ 0\)のとき
\[
\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}
\]

というものでした。
そして、根号の中身が同じ場合

\[
\begin{align}
\sqrt{a}\times \sqrt{a}&=(\sqrt{a})^2\\
&=a
\end{align}
\]

というように根号が外れました。

そして、もう1つ必要な知識として

\[
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\]

という展開公式を利用します。

この2つさえあれば有理化については大丈夫です。

分母に根号のついた数のみが含まれる場合

それでは、有理化をしてみます。
まずは、分母に根号のついた数のみが含まれる場合についてです。

最初に示した例を使って説明していきます。

\[
\frac{1}{\sqrt{3}}
\]

この分母の\(\sqrt{3}\)に何かをして、分母に含まないようにします。

では、何をするかというと

分母に含まれる根号のついた数を分母と分子にかける

です。
つまり

\[
\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
\]

のようにするということです。

なぜこのような操作をするかについて説明していきます。

まず、分母についてですが根号の中身が同じ数同士をかけると√が外れることを利用しています。
これにより、分母から根号のついた数がなくなります。

次に、なぜ分子にも同じ根号のついた数をかけているかについてです。
これは、分母だけにかけてしまうと等号が成り立たなくなってしまうからです。

等号は左右が等しい者同士を結ぶ記号でした。
有理化の前後では形は変わりますが、数値は同じです。

なので分母だけにかけてしまうと数値が変わってしまいます。
そのため、分子にも同じ数をかけることで等号を成立させています。

かけている数だけに着目してみると

\[
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
\]

これは約分をすれば1となります。
1をかけても計算結果は変わらないことから、分子にも同じ数をかけるというわけです。

それでは計算してみます。

\[
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{3}}&=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ \\
&=\frac{\sqrt{3}}{3}
\end{align}
\]

となり有理化することができました。

このようにして分母に根号のついた数のみが含まれる場合は有理化をします。

分母が根号のついた数を含む式の場合

次は

\[
\frac{1}{\sqrt{2}-1}
\]

このように、分母が先程の例のように根号のついた数のみではない場合についてです。

この場合はどのように有理化をするかというと

\[
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\]

この展開公式を利用します。
展開後の項に着目して下さい。
それぞれの2乗を引いたものが出てきています。

根号は2乗することで√が外れるので、うまく計算することができます。

では実際にやってみると

\[
\frac{1}{(\sqrt{2}-1)}\times \frac{(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)}
\]

このように分母と分子に同じ数をかけます。

先程の根号のみの場合との違いは

・元の分母は\(\sqrt{2}-1\)だが、かけるのは\(\sqrt{2}+1\)
・分母と分子に( )をつけてからかける

という点です。

まず、元の分母は+でつながれていますが、かけているものはでつながれています。
これは\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)を利用するためです。

次に( )がついている理由は、( )をつけないでかけてしまうと

\[
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2}-1}\times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}&=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1\times \sqrt{2}+1}\\ \\
&=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}
\end{align}
\]

のような計算ミスをしてしまう可能性があるためです。
このような計算ミスを防ぐためにもどちらの分母と分子にも( )をつけるようにしましょう。

それでは計算をしてみると

\[
\begin{align}
\frac{1}{(\sqrt{2}-1)}\times \frac{(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)}&=\frac{(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\ \\
&=\frac{(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^2-1}\\ \\
&=\frac{(\sqrt{2}+1)}{2-1}\\ \\
&=\sqrt{2}+1
\end{align}
\]

と有理化することができます。

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高卒認定試験数学 有理化の勉強法

それでは高卒認定試験数学の有理化についてぼ勉強法についてです。
まずは出題について確認し、次に勉強法について説明していきます。

有理化の出題について

有理化の出題についてですが、有理化はH26〜H30の間で3回の出題がありました。
3回とも分母が根号のついた数を含む式の場合での出題です。

分母が根号のついた数のみの場合は出題されていませんが、有理化を考える上で基本となる規則なので理解しておく必要があります。

そして、この後解き方のポイントで解説する「平方根で表された数の計算」は1回の出題になります。
今後出題される可能性もあるので解けるようにしておきましょう。

勉強法について

それでは勉強法についてですが、この記事で有利化のやり方を理解することができたら教科書の問題や問題集に取り組んでもらって大丈夫です。

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高卒認定試験数学 有理化の解き方のポイント

最後に解き方のポイントについて解説していきます。

有理化をする時の注意

有理化をする時の注意としては

・分母と分子両方にかける
・( )をつけ忘れない

この2つです。

分子にかけ忘れてしまった
( )をつけ忘れて計算ミスをしてしまった

このようなミスで間違えてしまう人をよく見てきたので注意するようにして下さい。

平方根で表された数の計算

次は「平方根で表された数の計算」についてです。

これは、どのような問題かというと

\(a=\frac{1}{\sqrt{3}-1}、b=\frac{1}{\sqrt{3}+1}\)のとき\(a+b\)を計算しなさい

というようなものです。

このような問題の解き方は

それぞれを有理化し、文字式に代入して計算する

です。

では、実際にやってみます。
まずは、それぞれを有理化するので

\[
\begin{align}
a&=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\\ \\
&=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1) \times (\sqrt{3}+1)}\\ \\ &=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}\\ \\
&=\frac{\sqrt{3}+1}{2}
\end{align}
\]

\[
\begin{align}
b&=\frac{1}{\sqrt{3}+1}\\ \\
&=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1) \times (\sqrt{3}-1)}\\ \\
&=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}\\ \\
&=\frac{\sqrt{3}-1}{2}
\end{align}
\]

これを\(a+b\)に代入します。

\[
\begin{align}
a+b&=\frac{\sqrt{3}+1}{2}+ \frac{\sqrt{3}-1}{2}\\ \\
&=\frac{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)}{2}\\ \\
&=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{3}+1-1)}{2}\\ \\
&=\frac{2\sqrt{3}}{2}\\ \\
&=\sqrt{3}
\end{align}
\]

となり計算することができました。
このように

有理化 → 代入 → 計算

という手順で解きます。

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まとめ

それでは今回のまとめです。

①有理化のポイント
・\(\sqrt{a}\times \sqrt{a}=a\)と\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)を利用する。
・分母と分子両方に必ずかける。
・ 式をかけるときは( )を忘れないこと。

②平方根で表された数の計算のポイント
・「有理化→代入→計算」の手順で解く。

教科書の例題や問い、問題集を解いて確認してみて下さい。

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