【高卒認定試験数学】 ポイント解説 ―1次不等式、連立不等式―【大問2 その1】

高卒認定試験数学のポイント解説です。

大問2の「方程式と不等式」から1次不等式と連立不等式について解き方のポイント解説を説明していきます。

1次不等式は10回中9回、連立不等式が1回の出題となっています。

すると1次不等式だけやればいいのではと思うかもしれませんが、連立不等式が今後出題されることも十分考えられるので対策をしておきましょう。

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1次不等式

まずは1次不等式についてです。

解き方はこちらの記事を参考にして下さい。

【数学Ⅰ】1次不等式の解き方
今回の数学Ⅰの解説は1次不等式の解き方について解説していきます。不等号の意味や読み方、1次不等式の解き方がわからない人はぜひ読んでみて下さい。

1次不等式を解く時のポイントは

・符号に注意
・小数や分数は整数に直す

です。

符号に注意

まずは「符号に注意」についてです。

不等号の性質として

両辺に負の数をかける、または負の数で割ると不等号の向きが逆になる

というものがありました。

例えば

\[
-3x<9
\]

を解く場合両辺に\(-\frac{1}{3}\)をかける、または両辺を\(-3\)で割ります。

まずは間違いから。

このように

\[
\begin{align}
-3x&<9\\ \\
-3\times \left(-\frac{1}{3}\right)&<9\times \left(-\frac{1}{3}\right)\\ \\
x&<-3\ \ \ \times
\end{align}
\]

と不等号の向きを変え忘れてしまうミスがよくあります。

\[
\begin{align}
-3x&<9\\ \\
-3\times \left(-\frac{1}{3}\right)&<9\times \left(-\frac{1}{3}\right)\\ \\
x&>-3\ \ \ \bigcirc
\end{align}
\]

と不等号の向きを逆にするのが正しい答えになります。

このように両辺に負の数をかける、または負の数で割る場合は不等号の向きを逆にすることを忘れないようにして下さい。

1次不等式の計算のコツ

計算のコツを1つ紹介します。

それは

負の数をかけたり、負の数で割ったりしないように変形する

です。

どういうことかというと

\[
4x+2<6x-4
\]

という例を用いて説明していきます。

これを

\[
\begin{align}
4x+2&<6x-4\\
4x-6x&<-4-2\\
-2x&<-6\\
x&>3
\end{align}
\]

というように変形すると両辺に負の数をかけたり、負の数で割ったりする必要が出てきてしまいます。

ではどうするかというと

\[
\begin{align}
4x+2&<6x-4\\
2+4x&<6x-4x\\
6&<2x\\
3&<x
\end{align}
\]

と変形することで負の数をかけたり、負の数で割ったりする必要がなくなります。

両辺の文字を含む項を確認し、計算した時に正の数になるように移項するというものです。

不等号でよくミスをしてしまう人は試してみて下さい。

小数や分数は整数に直す

次に小数や分数が不等式に含まれる場合はまず整数に直してから計算するようにして下さい。

もちろん、小数や分数のまま計算することもできますが計算ミスを防ぐためにも整数で計算することをオススメします。

その時

・分数は両辺に両辺にある分数の分母の最小公倍数をかける
・小数は1番位が小さい小数が整数になるように\(\times10\)、\(\times100\)、\(\times1000\)などする

ようにしましょう。

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連立不等式

まずは連立不等式について簡単に確認しておきましょう。

連立方程式を思い出してもらいたいのですが、方程式が2式以上あるものを連立方程式といいました。

考え方は同じで連立不等式は不等式が2式以上あるものをいいます。

例えば以下のようなものです。

\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x – 2 > 4 \ \ \ \ \ \mbox{(1)}\\
2x \mbox{≦} 5 \ \ \ \ \ \mbox{(2)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\]

では、連立不等式はどのように解けばいいのか、そして解き方のポイントは何かについて解説していきます。

連立不等式の解き方

連立不等式の解き方ですが

①それぞれの不等式を解く
②求めた解の範囲のどちらも満たす範囲を考える

の手順でときます。

先程の

\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x – 2 > 4 \ \ \ \ \ \mbox{(1)}\\
2x \mbox{≦} 5 \ \ \ \ \ \mbox{(2)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\]

を使って説明していきます。

①については、1次不等式で示した記事を参考にしてください。

(1)について解くと

\[
\begin{align}
3x – 2 &> 4\\ \\
x&>2
\end{align}
\]

(2)について解くと

\[
\begin{align}
2x &\mbox{≦} 5\\
x &\mbox{≦} \frac{5}{2}
\end{align}
\]

とそれぞれの\(x\)の範囲が求まります。

これで計算終了ではありません。

ここから②に移ります。

両方の\(x\)の範囲を満たすような範囲を考えるのですが、ここで数直線を利用します。

まずは\(x>2\)を数直線で表すと以下のようになります。

次に\(x \mbox{≦} \frac{5}{2}\)を数直線で表すと以下のようになります。

そして、2つを合わせてそれぞれの範囲を1つの数直線内に示してみます。

2つの範囲で被っている部分があることに気づいたでしょうか?

この部分です。

この赤色をつけた部分の範囲が今回の連立不等式の答えの範囲となります。

つまり、求める\(x\)の範囲は

\[
2 < x \mbox{≦} \frac{5}{2}
\]

となります。

それぞれの不等式を解き、数直線を用いてそれぞれの解の範囲が被る部分を探す

という流れで連立不等式は解きます。

連立不等式の解き方のポイント

連立不等式を解く時のポイントは

・符号に注意
・小数や分数は整数に直す

については1次不等式と同様です。

ここに

・数直線を利用する

が加わります。

それぞれの範囲を求めて頭の中で2つの範囲を合わせてもよいのですが、数直線を利用して書き表したほうが視覚的にもわかりやすいので必ず描くようにして下さい。

数直線の利用について

数直線の利用についてもう少し補足をしておきます。

先程の数直線で◯と●の2種類の丸印があったことに気づいたでしょうか?

これには意味があり

◯ → その数を含まない
● → その数を含む

という違いがあります。

つまり

・<、> → ◯を用いる
・≦、≧ → ●を用いる

ということです。

また、2つの範囲を合わせる時は

という4つのパターンがあります。

もちろん≦、≧のみ、または含まれる場合も同様です。

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まとめ

それでは今回のまとめです。

1次不等式のポイント
  ・符号に注意
  ・小数や分数は整数に直す

連立不等式の解き方
  ①それぞれの不等式を解く
  ②求めた解の範囲のどちらも満たす範囲を考える

連立不等式のポイント
  ・符号に注意
  ・小数や分数は整数に直す
  ・数直線を利用する

今回は以上となります。

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