【中2数学】三角形の内角・外角の練習問題【図形の合同】

今回の中2数学は図形の合同から「多角形の内角・外角」についての練習問題を解いていきましょう。

多角形の内角・外角については以下の記事で確認してください。

【中2数学】多角形の内角・外角【図形の合同】

今回の中2数学の解説は図形の合同から「多角形の内角・外角」についてです。それぞれの用語や性質を確認していきます。1つ1つじっくり読み進めてください。

練習問題
まとめ

練習問題

・正多角形の内角の和の計算
・正多角形の内角の計算
・正多角形の外角の計算

をやっていきましょう。

正多角形の内角の和の計算

問１五角形の内角の和を求めよ。

解答

内角の和の公式

\[
180^\circ \times (n-2)
\]

を利用して解く場合と利用しない場合と2通り解説します。

a.内角の和の公式を利用する場合

\[
\begin{align}
180^\circ \times (5-2) &= 180^\circ \times 3 \\
&= 540^\circ
\end{align}
\]

となります。

b.内角の和の公式を忘れてしまった場合

五角形は三角形3つに分けることができ、三角形の内角の和は\(180^\circ\)であるので

\[
180^\circ \times 3 = 540^\circ
\]

となります。

どちらも答えは同じになります。

問2　十角形の内角の和を求めよ。

解答

この問題も内角の和の公式を利用して解く場合と利用しない場合と2通り解説します。

a.内角の和の公式を利用する場合

\[
\begin{align}
180^\circ \times (10-2) &= 180^\circ \times 8 \\
&= 1440^\circ
\end{align}
\]

となります。

b.内角の和の公式を忘れてしまった場合

十角形は三角形8つに分けることができ、三角形の内角の和は\(180^\circ\)であるので

\[
180^\circ \times 8 = 1440^\circ
\]

となります。

どちらも答えは同じになります。

内角の和の公式を忘れてしまったときには、bの解き方のように三角形何個分になるのか考えましょう。

その時、実際に自分のてで多角形をかき三角形に分けてみましょう。

正多角形の内角の計算

問3　以下の図\(\angle x\)の大きさを求めよ

解答

与えられた図形は七角形であるので内角の和は

\[
\begin{align}
180^\circ \times (7-2) &= 180^\circ \times 5 \\
&= 900^\circ
\end{align}
\]

であり、\(\angle x\)は

\[
\begin{align}
\angle x + 80^\circ + 170^\circ + 135^\circ + 158^\circ + 92^\circ + 125^\circ &= 900^\circ \\
\angle x &= 900^\circ – 80^\circ – 170^\circ – 135^\circ – 158^\circ – 92^\circ – 125^\circ\\
&=140^\circ
\end{align}
\]

となります。

問4　以下の図\(\angle y\)の大きさを求めよ

解答

与えられた図形は五角形であるので内角の和は

\[
\begin{align}
180^\circ \times (5-2) &= 180^\circ \times 3 \\
&= 540^\circ
\end{align}
\]

であるので\(\angle y\)は

\[
\begin{align}
\angle y + 138^\circ + 91^\circ + 102^\circ + 129^\circ &= 540^\circ \\
\angle x &= 540^\circ -138^\circ – 91^\circ – 102^\circ – 129^\circ
&=80^\circ\\
\end{align}
\]

となります。

正多角形の外角の計算

問5　正六角形の1つの外角の大きさを求めよ

解答

2通りの考え方があるのでどちらも説明していきます。

a.内角の和を利用する場合

正多角形は1つの内角の大きさがそれぞれ等しいので、正六角形であれば1つあたりの角の大きさは内角の和を6等分した大きさとなります。

よって、正六角形の内角の和は

\[
\begin{align}
180^\circ \times (6-2) &= 180^\circ \times 4 \\
&= 720^\circ
\end{align}
\]

であるので、1つの内角の大きさは

\[
720^\circ \div 6 = 120^\circ
\]

となります。

1つの頂点の内角と外角の和が\(180^\circ\)であるので正六角形の1つの外角の大きさは

\[
180^\circ – 120^\circ = 60^\circ
\]

と求まります。

b.多角形の外角の和\(360^\circ\)であることを利用する場合

多角形の外角の和は\(360^\circ\)でした。

そして、与えられているのが正六角形であることから、1つの外角の大きさは全て等しくなります。

よって、外角の和を6等分すればよいので

\[
360^\circ \div 6 = 60^\circ
\]

と求まります。

このbの解き方については正多角形の場合でしか使用できないので注意してください。

問6　以下の図\(\angle z\)の大きさを求めよ

解答

一見多角形に見えないような気もしますが、赤い部分に着目すれば六角形があります。

求めるものは外角であるので、外角の和が\(360^\circ\)であることを利用します。

以下の図のように\(\angle a\)、\(\angle b\)をおきます。

1つの頂点の内角と外角の和が\(180^\circ\)であることから\(\angle a\)、\(\angle b\)は

\[
\begin{align}
\angle a &= 180^\circ -129^\circ\\
&= 51^\circ
\end{align}
\]

\[
\begin{align}
\angle b &= 180^\circ -101^\circ\\
&= 79^\circ
\end{align}
\]

であるので、外角の和が\(360^\circ\)より

\[
\begin{align}
\angle z + 43^\circ + 32^\circ + 51^\circ + 79^\circ + 72^\circ &= 360^\circ \\
\angle x &= 360^\circ – 43^\circ – 32^\circ – 51^\circ – 79^\circ – 72^\circ\\
&=83^\circ
\end{align}
\]

となります。