【中1数学】 「おうぎ形の弧の長さと面積」について【平面図形】

今回の中1数学は平面図形の「おうぎ形の弧の長さと面積」について解説していきます。

・おうぎ形の弧の長さの求め方がわからない
・おうぎ形の面積の求め方がわからない

という疑問を解決していきます。

今回の記事では

・おうぎ形の弧の長さの求め方
・おうぎ形の面積の求め方

について解説していきます。

おうぎ形の弧の長さや面積の求め方は円の円周の長さや面積の求め方と考えるとわかりやすいので、円についても確認していきます。

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おうぎ形の弧の長さの求め方

おうぎ形の弧の長さについてです。

まずは円周の求め方について確認しておきましょう。

円の円周の長さ

半径\(r\)の円の円周の長さ\(l\)は円周率を\(\pi\)とすると
\[
l=2\pi r
\] で求めることができる。

円の円周の長さは直径\(\times\)円周率で求めることができました。

半径が\(r\)の円であれば直径は半径2つ分であるので\(2\times r=2r\)となります。

また、円周率については中学校からは\(\pi\)を使って表します。

次におうぎ形の弧の長さについてです。

先におうぎ形の弧の長さを求める式を示しておきます。

おうぎ形の弧の長さ

半径\(r\)、中心角\(x^{\circ}\)のおうぎ形の弧の長さ\(l\)は
\[
l=2\pi r\times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\] で求めることができる。

\(2\pi r\)の部分は円周を求める式と同じです。

異なるのは\(\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\)がかけられているということです。

この部分は元の円のどれくらいにあたるのかを示しています。

例えば中心角が\(90^{\circ}\)のおうぎ形の弧の長さを求めてみます。

図のように中心角が\(90^{\circ}\)のおうぎ形は元の円の\(\frac{1}{4}\)です。

よって、弧の長さも元の円の円周の\(\frac{1}{4}\)となります。

では、おうぎ形の弧の長さを求める式を用いて計算をしてみます。

半径\(r\)、中心角が\(90^{\circ}\)であるので弧の長さ\(l\)は

\[
\begin{align}
l&=2\pi r \times \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\\ \\
&=2\pi r \times \frac{1}{4}\\ \\
\end{align}
\]

となり、元の円の長さの\(\frac{1}{4}\)となっていることがわかります。

このように\(\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\)の部分は弧の長さが円のどれくらいにあたるかを示しています。

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おうぎ形の面積の求め方

次におうぎ形の面積についてです。

先程と同様に円の面積の求め方から確認します。

円の面積

半径\(r\)の円の面積\(S\)は円周率を\(\pi\)とすると
\[
S=\pi r^2
\] で求めることができる。

次におうぎ形の面積についてです。

先におうぎ形の面積を求める式を示しておきます。

おうぎ形の面積

半径\(r\)、中心角\(x^{\circ}\)のおうぎ形の面積\(S\)は
\[
S=\pi r^2\times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\] で求めることができる。

先程の弧の長さと同様に円の面積と異なるのは\(\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\)がついているということです。

これもおうぎ形が円の面積のどのくらいを占めているのかを表しています。

例えば中心角が\(90^{\circ}\)のおうぎ形の面積を求めてみます。

図のように中心角が\(90^{\circ}\)のおうぎ形は元の円の\(\frac{1}{4}\)です。

よって、面積も元の円の面積の\(\frac{1}{4}\)となります。

では、おうぎ形の面積を求める式を用いて計算をしてみます。

半径\(r\)、中心角が\(90^{\circ}\)であるので面積\(S\)は

\[
\begin{align}
S&=\pi r^2 \times \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\\ \\
&=\pi r^2 \times \frac{1}{4}\\ \\
\end{align}
\]

となり、元の円の長さの\(\frac{1}{4}\)となっていることがわかります。

このように\(\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\)の部分はおうぎ形の面積が円のどれくらいにあたるかを示しています。

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練習問題

それではいくつか問題を解いてみましょう。

問1
半径3cm、中心角\(60^{\circ}\)のおうぎ形の弧の長さ\(l\)と面積\(S\)を求めよ。
解答

おうぎ形の弧の長さは
\[
2\pi r\times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\] にそれぞれの値を代入すれば求めることができます。

よって
\[
\begin{align}
l&=2\times \pi \times 3\times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\\ \\
&=6\pi \times \frac{1}{6}\\ \\
&=\pi \ \ \ \mbox{[cm]}
\end{align}
\]

また、おうぎ形の面積\(S\)は
\[
\pi r^2\times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\] にそれぞれの値を代入すれば求めることができます。

よって
\[
\begin{align}
S&=\pi \times 3^2\times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\\ \\
&=9\pi \times \frac{1}{6}\\ \\
&=\frac{9}{6}\pi\\ \\
&=\frac{3}{2}\pi \ \ \ \mbox{[cm\(^2\)]}
\end{align}
\]

となります。

問2
半径5cm、中心角\(120^{\circ}\)のおうぎ形の弧の長さと面積を求めよ。
解答
おうぎ形の弧の長さ\(l\)は
\[
\begin{align}
l&=2\times \pi \times 5\times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\\ \\
&=10\pi \times \frac{1}{3}\\ \\
&=\frac{10}{3}\pi \ \ \ \mbox{[cm]}
\end{align}
\]

また、おうぎ形の面積\(S\)は
\[
\begin{align}
S&=\pi \times 5^2\times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\\ \\
&=25\pi \times \frac{1}{3}\\ \\
&=\frac{25}{3}\pi \ \ \ \mbox{[cm\(^2\)]}
\end{align}
\]

となります。

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まとめ

それでは今回のまとめです。

おうぎ形の弧の長さ
    半径\(r\)、中心角\(x^{\circ}\)のおうぎ形の弧の長さ\(l\)は
\[
l=2\pi r\times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\]    となる。
   (おうぎ形の弧の長さ=円周\(\times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\))

おうぎ形の面積
    半径\(r\)、中心角\(x^{\circ}\)のおうぎ形の面積\(S\)は
\[
S=\pi r^2\times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\]    となる。
   (おうぎ形の面積=円の面積\(\times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\))

今回はここまでです。

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