【高卒認定試験数学】令和1年度1回目 ポイント解説 大問1〜大問3

今回は高卒認定試験数学の令和1年度第1回目のポイント解説をしていきます。

今回は大問1〜大問3についてポイント解説をしていきます。

問題や解答については文部科学省のHPにあるもの(http://www.mext.go.jp/a_menu/koutou/shiken/kakomon/1420164.htm)を参照するか、過去問題集などを持っている人はその問題を見てもらってもOKです。

・どのような問題が出題されたか
・どのような知識が必要か
・どう解くのがよいのか

といった視点からそれぞれの問題について説明していきます。

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大問1

大問1は因数分解、有理化、条件と集合が出題されました。

(1)について

因数分解の問題です。

\[
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
\]

を利用します。

\(ac=3\)、\(ad+bc=7\)、\(bd=2\)としてたすきがけを考えて解きましょう。

(2)について

分母の有理化の問題です。

\[
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\]

を利用して分母の√を外します。

分母が\(\sqrt{7}+\sqrt{6}\)であるので、分母分子に(\(\sqrt{7}-\sqrt{6}\))をかければOKです。

(3)について

条件と集合の問題です。

\(\cup\)は\(A\cup B\)\(A\)、\(B\)の少なくとも一方に属するような要素全体の集合を表します。

下記のベン図の斜線部に当てはまる選択肢を選べばOKです。

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大問2

大問2は1次不等式の計算と文章問題が出題されました。

1次不等式の解き方を理解しておく必要があります。

また、問題文を読み取り式を立てる練習もしておくと良いでしょう。

それでは、解き方や考え方のポイントを説明していきます。

(1)について

1次不等式の計算問題です。

小数が含まれているのでまずは両辺を10倍して整数に直しましょう

移行についてですが、左辺に\(x\)を含む項を集める場合には、\(4x-10x=-6x\)となるので、最終的な答えを出す際に両辺にマイナスをかける、または両辺をマイナスで割る必要があり、不等号の向きに注意が必要です。

このようなミスが心配な人は、右辺に\(x\)を含む項を集めれば、左辺に集めた場合と異なり、最終的な答えを出す時に不等号の向きを逆にする必要がなくなるので、この方法をおすすめします。

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(2)について

不等式の文章問題です。

ポイントは問題文から式を正しく立てられるかどうかです。

立式をする際に「具体例を考える」ことをオススメします。

求めるものは何年後に子供の年齢の和が父親の年齢以上になるかなので、その年数を\(x\)とおきます。

まずは父親の年齢から。

現在40歳であるので1年後は

\[
40+1=41
\]

2年後は

\[
40+2=42
\]

と1年経てば1歳年をとるので\(x\)年後の年齢は

\[
40+x
\]

となります。

次に子供の年齢の和についてです。

1年後の年齢は、それぞれの子供が1歳ずつ年をとり、その和を考えるので

\[
(10+1)+(7+1)=19
\]

2年後は

\[
(10+2)+(7+2)=21
\]

とそれぞれの年齢に経過した年齢を足したものの和をとればよいので、\(x\)年後の年齢は

\[
(10+x)+(7+x)
\]

となります。

( )を外してまとめると

\[
(10+x)+(7+x)=17+2x
\]

となり、この\(17+2x\)が父親の年齢以上になればよいので

\[
17+2x>40+x
\]

という式を立式することができます。

後はこの不等式を解けばOKです。

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大問3

大問3は2次関数のグラフに関して、グラフの概形、グラフを表す式、頂点の座標の問題が出題されました。

グラフを表す式とその式から何が読み取れるのか確認しておきましょう。

(1)について

与えられた2次関数に当てはまるグラフの概形を選ぶ問題です。

与えられた2次関数が\(y=(x+2)^2-3\)と標準形です。

標準形のグラフは頂点の座標、グラフが上に凸か下に凸かを式から読み取ることができました。

2次関数の標準形のグラフから読み取れること

・\(a>0\)の時下に凸
・\(a<0\)の時上に凸
・\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフの頂点の座標は\(\ p\ ,\ q\ \)である

\(y=a(x-p)^2+q\)と\(y=(x+2)^2-3\)を比較します。

すると

・\(a=1\)
・\(-p=+2\) → \(p=-2\)
・\(+q=-3\)

であることがわかります。

よって下に凸であり、グラフの頂点の座標は\(\ -2\ ,\ -3\ \)です。

選択肢のグラフはどれも下に凸であるので、頂点の座標が\(\ -2\ ,\ -3\ \)であるグラフを選べばOKです。

(2)について

2次間数のグラフの式とそのグラフが通過する点が与えられ、グラフの式を決定する問題です。

グラフが通過する点の座標をそのグラフの式に代入しても成り立つので、与えられている通過する点の座標をグラフの式に代入しましょう。

すると\(a\)についての方程式になるので、後はそれを解いて\(a\)を求めればOKです。

(3)について

グラフの頂点に関する問題で、グラフの式と頂点の\(y\)座標が与えられています。

与えられている式は一般形であるのでこのままでは頂点の座標がわかりません。

そこで頂点の座標が読み取れる標準形に変形する必要があります。

平方完成の出番です。

平方完成は苦手としている人も多いと思いますが、以下の記事を参考に自力でできるようにしてください。

高卒認定試験数学 ポイント解説と勉強法 ―2次関数 【大問3 ①】
高卒認定試験数学の解説です。今回は大問3の2次関数のポイントを説明します。2次関数のグラフが苦手という人は今回の記事で確認し、次回の記事で解き方のポイントをおさえましょう。

文字が含まれていて余計に難しそうに感じるかもしれませんが、以下に平方完成の式を丁寧に示していくので1つ1つ確認してみてください。

与えられている式は\(y=x^2+6x+9+k\)です。

まずは\(y=x^2+6x+9+k\)の\(y=x^2+6x\)の部分を\(( )^2\)の形に変形します。

\[
x^2+2ax+a^2=(x+a)^2
\]

を利用します。

この式の\(2a\)の部分が\(6\)であるので、\(( )^2\)の形にするときは半分に必要があります。

\(y=x^2+6x\)の部分のみに着目すると

\[
\begin{align}
y&=x^2+6x\\
&=(x+3)^2
\end{align}
\]

としたいところですが、このままだと\((x+3)^2\)を展開した時に\(x^2+6x+9\)となり\(+9\)が余計に出てきてしまいます。

このままでは等式が成り立たなくなってしまうので、この\(+9\)を引いてあげます。

つまり正しくは

\[
\begin{align}
y&=x^2+6x\\
&=(x+3)^2-9
\end{align}
\]

となります。

これで、\(( )^2\)の形を作ることができました。

後は元の式である\(y=x^2+6x+9+k\)に戻して考えます。

\[
\begin{align}
y&=y=x^2+6x+9+k\\
&={(x+3)^2-9}+9+k\\
&=(x+3)^2-9+9+k\\
&=(x+3)^2+k
\end{align}
\]

と標準形に直すことができました。

これで頂点の座標がわかります。

頂点の\(y\)座標は\(+k\)と読み取ることができるので、これが問題文に与えられているように4となり、\(k\)の値を求めることができました。

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まとめ

今回はここまでです。

次回は大問4〜6についてポイント解説をしていきます。

次回の記事はこちらから。

【高卒認定試験数学】令和1年度1回目 ポイント解説 大問4〜大問6
今回は高卒認定試験数学の過去問のポイント解説です。どのような問題が出題されているのか、どのような知識が必要か、どのように解くのがよいのかなど把握して過去問演習をより効果的に行えるようにしましょう。

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