【高卒認定試験数学】令和1年度1回目 ポイント解説 大問4〜大問6

前回の続きで大問4〜6についてポイントを解説していきます。

前回の記事はこちらから。

【高卒認定試験数学】令和1年度1回目 ポイント解説 大問1〜大問3
今回は高卒認定試験数学の過去問のポイント解説です。どのような問題が出題されているのか、どのような知識が必要か、どのように解くのがよいのかなど把握して過去問演習をより効果的に行えるようにしましょう。
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大問4

大問4は2次関数の最大値・最小値、2次方程式、2次不等式の問題が出題されました。

(1)について

2次関数の最大値・最小値の問題です。

今回の出題では選択肢が少し例年と変わりました。

何が変わったのかというと、最小値、または最大値がないという文が選択肢に含まれました。

今回は\(x\)の範囲が与えられていません。

そのため今回のような上に凸のグラフであれば頂点の\(y\)座標が最大値となり、最小値はなしということがわかります。

このような範囲のない2次関数の場合

・下に凸の場合は最大値はなし、頂点の\(y\)座標が最小値
・上に凸の場合は最大値は頂点の\(y\)座標、最小値はなし

となるのですが、これを覚えなくてもグラフがかければOKです。

今回の問題も与えられているグラフの式\(y=-(x-1)^2+2\)から、\(a\)の値が負であるので上に凸、標準形であるので頂点の座標が\(\ 1\ ,\ 2\ \)ということが読み取れます。

すると以下のようなグラフをかくことができます。

グラフを見れば最大値が一目瞭然ですし、最小値も決まらないこともわかります。

このようにグラフを書く習慣をつけておくと問題が少し変わっても対応できるので意識するようにしてください。

与えられているグラフの式が標準形でない場合は平方完成をして直すとグラフがかきやすいです。

(2)について

2次関数のグラフと\(x\)の共有点を求める問題です。

\(x\)の共有点は\(y\)座標が\(0\)であるので、グラフの式に\(y=0\)を代入して2次方程式を解けばOKです。

因数分解、または解の公式を利用して解きます。

今回であれば\(x^2+3x+1=0\)を解くのですが、問題文からもわかるように因数分解ができないので解の公式を利用して解けばOKです。

(3)について

2次不等式の問題です。

今回は問題文にグラフが与えられているのでそれを見ながら考えればよいのですが、グラフが与えられていない場合は自分でかくようにしてください。

グラフをかいた方が視覚的にもわかりやすいので、必ずかくようにしましょう。

与えられている2次不等式は\(x^2-2x+1\)≧\(0\)、つまり\(y=x^2-2x+1\)のグラフの\(y\)座標の値が\(0\)以上になる範囲を答える問題です。

グラフを見れば明らかですが、以下の斜線部が\(y\)座標の値が\(0\)以上になる部分です。

\(x=1\)を代入すると\(y\)の値は\(0\)、他のどのような\(x\)の値を代入しても全て\(y\)の値は正となります。

つまり、全ての実数の範囲で\(y\)座標の値が\(0\)以上になります。

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大問5

大問5では三角比、三角比の値、三角比の相互関係、余弦定理、正弦定理の問題が出題されました。

(1)について

三角比の問題です。

問題文に与えられて直角三角形に着目しましょう。

分かっている情報から\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)のどの関係を使うのか判断しましょう。

\(BD\)の長さを\(x\)とおくと、斜辺、対辺、角度の関係であるので\(\sin\)を使って\(x\)の長さを出します。

\[
\begin{align}
\sin 14^\circ &= \frac{x}{100}\\ \\
x&=\sin 14^\circ \times 100
\end{align}
\]

を計算して\(x\)をまずは出します。

\(\sin 14^\circ\)の値は問題文に与えられているのでそれを用いてください。

ここで、注意してほしいことは\(x\)の値を出して終了ではありません。

求める長さは\(CD\)です。

\(CD=2BD\)であるので、\(x\)も2倍することを忘れないようにしてください。

\[
\begin{align}
CD&=2BD\\
&=2x
\end{align}
\]

を計算した結果が答えとなります。

(2)について

三角比の値を求める問題です。

\(\cos 166^\circ\)の値を求めるのですが

\[
\cos(180^\circ – \theta) = -\cos \theta
\]

を利用します。

\(166^\circ = 180^\circ – 14^\circ\)であるので

\[
\begin{align}
\cos 166^\circ&=\cos(180^\circ – 14^\circ)\\
&= -\cos 14^\circ
\end{align}
\]

となります。

\(\cos 14^\circ\)の値は問題文に与えられているのでそれを利用すればOKです。

ただし負の符号のつけ忘れに注意してください。

(3)について

三角比の相互関係を利用して\(\sin A\)の値を求める問題です。

\[
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}
\]

であるので、式を変形して\(\sin A =\)の形を作ります。

\[
\begin{align}
\tan A &= \frac{\sin A}{\cos A}\\ \\
\sin A &= \tan A \times \cos A
\end{align}
\]

にそれぞれの値を代入して計算すればOKです。

別解

直角三角形を考えて求めるという方法もあります。

\(cos A\)、\(tan A\)の値が正であることから鋭角三角形であることがわかります。

それぞれの値から辺の比がわかり、直角三角形を考えると以下のようになります。

この直角三角形より\(\sin A\)を求めてもOKです。

(4)について

余弦定理を利用して長さを求める問題です。

求める長さを文字でおいて、余弦定理の式にあてはめて計算すればOKです。

見分け方としてはわかっているものと求めるものの関係が2辺とその間の角ということから余弦定理を使うと判断するとよいでしょう。

この余弦定理を利用して長さを求めるような問題は毎年出題されているので確実に解けるようにしておきましょう。

(5)について

正弦定理を利用して長さを求める問題です。

求める長さを文字でおいて、正弦定理の式にあてはめて計算すればOKです。

見分け方としてはわかっているものと求めるものの関係が向かい合う辺と角の2ペアということから正弦定理を使うと判断するとよいでしょう。

この正弦定理を利用して長さを求めるような問題は出題頻度も高いので確実に解けるようにしておきましょう。

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大問6

大問6では代表値、箱ひげ図、分散、散布図の問題が出題されました。

(1)について

代表値である最頻値と中央値を求める問題です。

ヒストグラムがあり難しく感じるかもしれませんが、それぞれの用語を理解していれば問題ありません。

最頻値最も多くデータのある値であるので、ヒストグラムから読み取ることができます。

中央値についてですが、データの個数が偶数個であることに注意です。

10個のデータがあるので、中央値は5個目と6個目の平均となります。

5個目と6個目のデータがいくつかについてもヒストグラムから読み取ります。

するとどちらも3本のところに位置しているので、後は平均をとればOKです。

(2)について

箱ひげ図の読み取りの問題です。

箱ひげ図のそれぞれどの部分が何を表しているのか確認しておきましょう。

箱ひげ図を書かされる問題は出題されていませんが、理解を深めるためにも自分で書けるように練習しておきましょう。

選択肢と1つ1つ与えられてた箱ひげ図とを照らし合わせて確認していけばOKです。

選択肢で注意することをいくつかあげておきます。

②の文中の「3人未満」は3を含まないので言い換えれば「1人や2人になることがなかった」ということです。

③平均値が等しいかどうかですが、平均値を表す「+」の記号があればすぐに判断することができるのですが、図にはないので後回しにしてOKです。

④にあるデータの範囲は「最大値-最小値」で求めることができます。
データの範囲が大きいものほど散らばりの度合いも大きくなるので、それぞれのデータの範囲を求めて比較すればOKです。

今回①、②、④の選択肢を確認した時点で③を確認しなくても答えが求まります。

このようなことがあるので、まずは自分が確実にわかる選択肢、すぐに判断できる選択肢から確認していくとよいでしょう。

(3)について

平均値と分散を求める問題です。

平均値はデータの和をとり、個数で割ればOKです。

分散については式が与えられているのでそれを利用して求めればOKです。

(4)について

散布図の読み取りの問題です。

適する相関係数を選択肢から選ぶのですが、判断するポイントとして

・右肩上がりか、右肩下がりか
・データはバラけているか、ギュッと集まっているか

をチェックしましょう。

右肩上がりであれば正の相関がありますし、右肩下がりであれば負の相関があります。

また、データがバラけているほど0、右肩上がりでギュッと集まっているほど1、右肩下がりでギュッと集まっているほど-1に近い値になります。

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終わりに

過去問を解く際に参考にしてみて下さい。

詳しい解き方についてはまた別の記事で解説する予定です。

今回はここまでです。

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