【中2数学】 連立方程式の解き方 ーその1

今回の中2数学の解説は連立方程式です。

・連立方程式の解き方がわからない
・加減法、代入法どちらを使ったら良いのかわからない

といった人はこの記事を読んでもらえれば疑問が解決すると思います。

まずは連立方程式とはなにかについてです。

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連立方程式とは

中1で学んだ方程式は式が1つで文字も1種類でした。
では、文字の種類が増えたらどのようにして解くのでしょうか?

例えば

\[
7x+3=6x-9
\]

この方程式を解くのは問題ないと思います。
もし心配な人は以下の記事から確認してください。

【中1数学】方程式の解き方 ―その1
今回の中1数学の解説は方程式の解き方について解説していきます。まずは方程式とは何か、どのようにして解くのかを解説していきます。解き方については、複数回にわたって解説していき、一段落したところでまとめます。
【中1数学】方程式の解き方 ―その2
今回の中1数学の解説は方程式の解き方について解説していきます。今回は分数や小数、( )がついている方程式の解き方についてです。
【中1数学】方程式の解き方 ―その3
今回の中1数学の解説は方程式の解き方について解説していきます。今回は方程式の解き方の流れをまとめます。方程式の解き方が定まっていない人はぜひ参考にしてみてください。

では

\[
3x-2y=3
\]

この場合はどうでしょうか?
文字が2つありますね。

この場合、それぞれの文字に数字を代入していけばいつかは解が見つかるのですが時間がかかりすぎてしまいます。

今回は文字が2種類ある時の解き方についてです。

連立方程式の形

連立方程式は、先程の

\[
3x-2y=3
\]

この方程式に式がもう1つ加わり

\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x – 2y = 3 \ \ \ \ \ \mbox{(1)}\\
x + y = 5 \ \ \ \ \ \mbox{(2)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\]

というように式が2つの形で出てきます。

このように2種類の文字と2つの式があるような方程式を連立方程式といいます。

この連立方程式ですが、文字が3種類、式が3つのような場合もあります。
なので、文字が2種類以上で式が2つ以上あるときは連立方程式となります。

この2つの式を使って、\(x\)、\(y\)がどのような値をとるのかを求めます。
つまり、2つの文字の解を求める必要があります。

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連立方程式の解き方

では、どのようにして解を求めるのでしょうか?

2つの方法を説明していきますが、共通するポイントを1つ。

文字を減らす

これを意識して下さい。
1つの式の中に文字が1種類の時の解き方はもう学びましたね。

文字が1種類であれば解けるので、文字が2種類以上ある場合は、与えられている式を利用して文字を1種類に減らすということです。

それではまず、1つ目の方法から。

代入法

代入法という方法をまずは説明していきます。

代入の仕方は大丈夫でしょうか?
心配な人は以下の記事で確認してください。

【中1数学】文字と式 式の値の求め方は2STEPです。
式の値の求め方についてです。求め方は2つのSTEPがあります。具体例を見ながらポイントをおさえるようにしましょう。また、代入のイメージを持つことも重要です。

では、代入法とはどういったものかについてです。

①片方の式を利用して文字=の形を作る
②もう片方の式に代入する

というものです。
これだけではイメージがわかないと思うので、具体的に考えていきましょう。

最初に示した

\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x – 2y = 3 \ \ \ \ \ \mbox{(1)}\\
x + y = 5 \ \ \ \ \ \mbox{(2)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\]

この連立方程式を使って考えていきます。

代入法を使うためには「文字=」の形を作る必要があります。
方程式を解く時に利用した移項をします。

(2) 式を変形して「文字=」の形を作ると

\[
\begin{align}
x + y &= 5\\ x&=5-y \ \ \ \ \ \mbox{(3)}
\end{align}
\]

となります。

この(3)式を(1)式の\(x\)に代入して、\(y\)の値を求めましょう。

代入することで\(x\)が消え、式中の文字が1つ減り、中1の時に学習した方程式の形になり解くことができます。

この時、注意すべきことはカタマリとして代入するということです。
必ず( )をつけて代入しましょう。

\[
\begin{align} 3(5-y) – 2y &= 3\\
15-3y-2y&=3 \\
15-3&=3y+2y\\
12&=5y\\
\frac{12}{5}&=y
\end{align}
\]

となり、\(y\)の値を求めることができました。

後は、この求めた\(y\)を(1)式、(2)式または(3)式のどれかに代入して\(x\)を求めます。

どの式に代入しても良いのですが、(3)式に代入することをオススメします。
何故かと言うと\(x=\)の形にすでになっているので、移項などをする必要が無いためです。

それでは、(3)式に代入して\(x\)の値を求めます。

\[
\begin{align}
x&=5-\frac{12}{5}\\ \\
&=\frac{25-12}{5}\\ \\
&=\frac{13}{5}
\end{align}
\]

となり、\(x\)の値を求めることができました。

よって、与えられた連立方程式の解は\(x=\frac{13}{5}\)、\(y=\frac{12}{5}\)となります。

加減法

次は加減法という方法を説明していきます。

加減法とはどのようなことをするかというと

片方の文字が消えるように2つの式の両辺をそれぞれ足すまたは引く

というものです。

これも代入法と同様に

\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x – 2y = 3 \ \ \ \ \ \mbox{(1)}\\
x + y = 5 \ \ \ \ \ \mbox{(2)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\]

この連立方程式を用いて考えてみます。

では、加減法のやり方の片方の文字が消えるようにとはどういうことなのか説明していきます。
解き方の説明の前に

文字を減らす

ということを意識してもらうようにいいました。

代入法のときは、片方の文字に代入することで文字を減らしました。

では、加減法ではどうするかというと、片方の文字の係数の数字をそろえ、足し引きすることで片方の文字を消します

片方の文字の係数の数字をそろえる時には両辺に同じ数をかけます。

では、(1)式と(2)式の\(x\)、\(y\)の係数を見てください。どちらの係数もそろっていません。

今回は\(y\)の係数をそろえます。

(1)式の\(y\)の係数の数字は2です。
(2)式の\(y\)の係数の数字は1であるので、(2)式の両辺を2倍します。

( )をつけることを忘れないように!

\[
\begin{align}
2(x + y) &= 2\times5\\
2x+2y&=10 \ \ \ \ \ \mbox{(3)}
\end{align}
\]

これで、\(y\)の係数の数字がそろい、準備ができました。

では、以下のようにして両辺を足します。

上の式の左辺+下の式の左辺=上の式の右辺+下の式の右辺

というように計算します。

慣れてきたら

のようにやってもOKです。

これで\(x\)が求まったので、(1)式または(2)式に代入して\(y\)を求めましょう。

今回は(2)式に代入して計算します。

\[
\begin{align}
\frac{13}{5} + y &= 5\\
y&=5-\frac{13}{5}\\ \\
&=\frac{25-13}\\ \\
&=\frac{12}{5}
\end{align}
\]

となり\(y\)の値が求まりました。

結果は代入法と同じになりましたね。

両辺の足し引きをするときですが

・消したい文字の係数が正と負 → 足す
・消したい文字の係数が正同士または負同士 → 引く

で計算するようにしましょう。

今回は2つの式の係数が正と負だったので足しました。

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代入法か加減法か

2つの方法を学びましたが

どちらを使うのがいいの?

と疑問に思う人もいると思うので、使い分けについても話しておきます。

もちろん、自分のやりやすい方で解くというのも1つの手ですが、このようにして考えると早く解きやすいという判断基準を示しておきます。

・与えられた連立方程式の中に「文字=」の式がある → 代入法
・それ以外 → 加減法

で使い分けをすることをオススメします。

理由としては「文字=」の形があれば、そのまま代入してしまう方が早いためです。

加減法で解くために移項が必要な式がある場合、符号の間違いなど計算ミスにつながることがあるので、できるだけ避けた方がよいです。

逆の場合、つまり式の形を代入するために「文字=」に変形する際も同様の理由になります。

なので、今回代入法の説明で、移項をしてから解いていましたが、本来であれば避けるのがよいです。

もし、解法が指定されているようであればそれに従うようにしてください。

どちらにせよ、代入法、加減法どちらでも解けるようにし、早く正確に解ける解法を与えられた式を見た時に選択できるようにしましょう。

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まとめ

今回のまとめです。

連立方程式とは
・文字が2種類以上で式が2つ以上ある方程式

代入法
・片方の式を利用して文字=の形を作り、もう片方の式に代入する

加減法
・片方の文字が消えるように2つの式の両辺をそれぞれ足すまたは引く

今回はここまでです。
次回は少し変わった形の連立方程式や解が与えられている場合の連立方程式の解き方についてです。

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