【中1数学】 「累乗」について【正負の数】

今回の中1数学解説は正負の数から数の「累乗」について解説していきます。

・累乗とは何か?
・累乗の計算の仕方がわからない

という疑問を解決していきます。

今回の記事では

・累乗について
・累乗の計算の仕方

について解説していきます。

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累乗について

累乗

同じ数をいくつかかけたもの

同じ数をいくつかかけたもの累乗といいます。

例えば

\[
3\times 3\times 3\times 3
\]

であれば

\[
3\times 3\times 3\times 3=3^4
\]

のように表し、「3の4乗」と読みます。

そして、\(3^4\)の3の右上の数を指数といいます。

練習

それでは少し累乗の練習をしましょう。

以下のかけ算を累乗の形で表してみましょう。

\[
\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}
\]
解答
ポイントは\(\frac{1}{2}\)が何回かけられているのかです。

式を確認すると\(\frac{1}{2}\)が3回かけられています。

よって

\[
\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^2
\]

となります。

( )がついていますが、これは( )がないと

\[
\frac{1^2}{2}
\]

となってしまい、\(\frac{1}{2}\)が3回かけられているのではなく\(1\)が3回かけられていることになってしまいます。

\[
(-5)\times (-5)
\]
解答
今回は(-5)が2回かけられています。

よって

\[
(-5)\times (-5)=(-5)^2
\]

となります。

今回も(-5)が2回かけられているので( )の外側に指数の2をつけます。

これを

\[
(-5)\times (-5)=-5^2
\]

としてしまうと5が2回かけられていることになるので注意してください。

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累乗の計算の仕方

それでは累乗の計算の仕方を確認していきましょう。

手順としては

①累乗の形をかけ算の形に直す
②計算する

という順番になります。

慣れている人は頭の中で何回かけられているか考えて計算してもよいのですが、始めのうちは丁寧に手順を踏んで計算をすることをオススメします。

それでは具体例を用いて確認していきます。

\[
8^2
\]

まずは累乗の形をかけ算に直します。

指数の部分に着目してください。

今回指数は2です。

よって「8が2回かけられている」ということなので

\[
8^2=8\times 8
\]

となります。

後はこれを計算すればOKです。

\[
\begin{align}
8^2&=8\times 8\\
&=64
\end{align}
\]

と計算することができます。

注意点

ここで累乗を計算する上での注意点があります。

それは

\[
(-4)^3
\]

\[
-4^3
\]

の違いです。

どちらも同じ結果になるのでは?

と始めのうちは勘違いをしてしまいがちですが、この2つの計算は異なります。

では、何が異なるかというと「かけられている数」が違います。

以下の図を見てください。

このように、四角で囲った部分が指数の数だけかけられています。

よって\((-4)^3\)は

\[
(-4)^3=(-4)\times (-4)\times (-4)
\]

というように「\((-4)\)が3回かけられている」ということであり

\(-4^3\)は

\[
-4^3=-(4\times 4\times 4)
\]

のように「\(4\)が3回かけられたところにマイナスがかかっている」ということになります。

この様なミスを減らす方法として、何が何乗されているのかをわかりやすくするために先程示したように四角で囲むことをオススメします。

練習

それでは累乗の計算を練習してみましょう。

\[
-9^2
\]
解答
まずは累乗をかけ算の形に直します。

今回は9が2回かけられています。

よって

\[
-9^2=-(9\times9)
\]

となるので、これを計算して

\[
\begin{align}
-9^2&=-(9\times9)\\
&=-81
\end{align}
\]

となります。

\[
\left(-\frac{2}{5}\right)^3
\]
解答
まずは累乗をかけ算の形に直します。

今回は\(\left(-\frac{2}{5}\right)\)が3回かけられています。

よって

\[
\left(-\frac{2}{5}\right)^3=\left(-\frac{2}{5}\right)\times \left(-\frac{2}{5}\right) \times \left(-\frac{2}{5}\right)
\]

となるので、これを計算して

\[
\begin{align}
\left(-\frac{2}{5}\right)^3&=\left(-\frac{2}{5}\right)\times \left(-\frac{2}{5}\right) \times \left(-\frac{2}{5}\right)\\ \\
&=-\frac{8}{125}
\end{align}
\]

となります。

\[
2^5
\]
解答
まずは累乗をかけ算の形に直します。

2が5回かけられています。

よって

\[
2^5=2\times 2\times 2\times 2\times2
\]

となるので、これを計算して

\[
\begin{align}
2^5&=2\times 2\times 2\times 2\times2\\
&=32
\end{align}
\]

となります。

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まとめ

それでは今回のまとめです。

累乗
   ・同じ数をいくつかかけたもの
   ・かけあわされている個数を数の右上にかく(指数)

累乗の計算
   ①累乗の形をかけ算の形に直す
   ②計算する

今回はここまでです。

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