【中2数学】 三角形の内角・外角【図形の合同】

今回の中2数学は図形の合同から「三角形の内角・外角」について解説していきます。

・三角形の内角・外角について
・三角形の内角・外角の性質について

解説していきます。

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三角形の内角・外角について

まずは、内角・外角について確認していきます。

内角・外角

内角・・・図形の内側の角
外角・・・内角にとなり合う外側の角。

図形の角度はこの2つで区別して考えます。

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三角形の内角・外角の性質について

三角形の内角・外角の性質を確認していきます。

三角形の内角は以下の図の通りです。

三角形の内角の性質はみなさんがよく知っているものです。

三角形の内角の性質

三角形の内角の和 → \(180^\circ\)

次に三角形の外角の性質についてです。

まず、三角形の外角は以下の図の通りです。

では、以下に外角の性質を示します。

三角形の外角の性質

三角形の外角 → 外角ととなり合わない2つの内角の和と等しくなる

この三角形の外角の性質について2通りの方法で説明していきます。

方法①

内角をそれぞれ\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)、外角を\(\angle D\)とします。

三角形の内角の和は\(180^\circ\)であることから

\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]

であり、この式を\(\angle C =\)の形にすると

\[
\angle C = 180^\circ – \angle A – \angle B\ \ \ \ \mbox{①}
\]

となります。

次に直線のなす角が\(180^\circ\)であることから

\[
\angle C + \angle D = 180^\circ
\]

であり、この式も\(\angle C =\)の形にすると

\[
\angle C = 180^\circ – \angle D\ \ \ \ \mbox{②}
\]

となります。

ここで①式の\(\angle C\)に②式の右辺を代入すると

\[
180^\circ – \angle A – \angle B = 180^\circ – \angle D
\]

となるのでこれを計算すると

\[
\begin{align}
180^\circ – \angle A – \angle B &= 180^\circ – \angle D\\
\angle D &= \angle A + \angle B
\end{align}
\]

となり外角の性質の通りになります。

方法②

内角をそれぞれ\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)、外角を\(\angle D\)とします。

さらに、辺\(ab\)に平行な\(dc\)を考えます。

すると、平行線の錯角は等しいことから

\[
\angle A = \angle A’
\]

また、平行線の同位角は等しいことから

\[
\angle B = \angle B’
\]

となります。

よって、外角\(\angle D\)は

\[
\begin{align}
\angle D &= \angle A’ + \angle B’ \\
&= \angle A + \angle B
\end{align}
\]

となり、外角の性質の通りとなります。

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練習問題

最後に練習問題を解いて内容を確認していきましょう。

問1 \(\angle x\)の大きさを求めよ。

解答
三角形の内角の和が\(180^\circ\)であることから

\[
\begin{align}
70^\circ + 50^\circ + \angle x &= 180^\circ \\
\angle x &= 180^\circ – 70^\circ – 50^\circ \\
&= 60^\circ
\end{align}
\]

と求まります。

問2 \(\angle y\)の大きさを求めよ。

解答
外角の性質より

\[
\angle x + 85^\circ = 125^\circ
\]

であるので

\[
\begin{align}
\angle x &= 125^\circ – 85^\circ \\
&=40^\circ
\end{align}
\]

と求まります。

別解として外角の性質を用いない場合も説明しておきます。

下図のように\(\angle C\)を考えます。

直線のなす角が\(180^\circ\)であるので

\[
\begin{align}
\angle C + 125^\circ &= 180^\circ \\
\angle C &=180^\circ – 125^\circ \\
&=55^\circ
\end{align}
\]

と\(\angle C\)の大きさがわかります。

三角形の内角の和が\(180^\circ\)であるので

\[
85^\circ + \angle x + \angle C =180^\circ
\]

\(\angle C = 55^\circ\)であるので代入して計算すると

\[
\begin{align}
85^\circ + \angle x + 55^\circ &= 180^\circ \\
\angle x &= 180^\circ – 85^\circ – 55^\circ \\
&=40^\circ
\end{align}
\]

と求まります。

計算量を見てもらえればよいのですが、外角の性質を利用したほうが計算量を減らすことができます。

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まとめ

それでは今回のまとめです。

三角形の内角・外角
    ◯三角形の内角

    ◯三角形の外角

三角形の内角の性質
    三角形の内角の和 → \(180^\circ\)

三角形の外角の性質
    三角形の外角 → 外角ととなり合わない2つの内角の和と等しくなる

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