今回の中2数学は図形の合同から「多角形の内角・外角」について解説していきます。
解説していきます。
多角形の内角について
前回は三角形の内角・外角について確認しました。
今回は多角形です。
四角形以上の内角の考え方を確認していきましょう。
多角形の内角の和の求め方
多角形の内角の和はどのようにして求めるのかを説明していきます。
ポイントは「三角形に分ける」ということです。
前回三角形の内角の和は\(180^\circ\)であることを確認しています。
多角形の和は、図形を三角形に分け三角形の内角の和を利用することで求めることができます。
では実際に具体的な例を用いて説明していきます。
まずは四角形です。
この四角形を三角形に分けてみると以下のようになります。
すると三角形2つにできることができるので、1つの三角形の和は\(180^\circ\)であり、それが2つあることから
\[
180^\circ \times 2 = 360^\circ
\]
となります。
次は五角形についてです。
これも同様にして三角形に分けてみましょう。
三角形3つに分けることができることから
\[
180^\circ \times 3 = 540^\circ
\]
となります。
図形が六角形、七角形・・・となっていても同様にして考えることで内角の和を求めることができます。
六角形は三角形4つ、七角形は三角形5つに分けることができます。
つまり
分けた三角形の数 \(\times 180^\circ\)
と考えて多角形の内角の和を求めることができます。
多角形の和の内角の公式
多角形の内角の和は公式もあります。
\[
180^\circ \times (n-2)
\]
\(n\)は何角形かによって変わります。
・\(n=4\)のとき四角形
・\(n=5\)のとき五角形
・
・
・
となっていきます。
実際に計算してみると
\(n=3\)のとき
\[
\begin{align}
180^\circ \times (3-2) &= 180^\circ \times 1\\
&=180^\circ
\end{align}
\]
\(n=4\)のとき
\[
\begin{align}
180^\circ \times (4-2) &= 180^\circ \times 2\\
&=360^\circ
\end{align}
\]
\(n=5\)のとき
\[
\begin{align}
180^\circ \times (5-2) &= 180^\circ \times 3\\
&=540^\circ
\end{align}
\]
というようにそれぞれ求めることができます。
多角形の内角の和の公式の説明
多角形の内角の和の公式が
180^\circ \times (n-2)
\]
となることを説明します。
最初に確認したように多角形がいくつの三角形に分けることかを考えます。
下の表にまとめました。
表のように分けることのできる三角形の個数はどれも角の数から\(-2\)した個数となっています。
ということは\(n\)角形であれば\(n-2\)個の三角形に分けることができるとわかります。
よって、多角形の内角の和は分けた三角形の数に\(180^\circ\)をかける、つまり
\[
180^\circ \times (n-2)
\]
となります。
多角形の外角について
次に多角形の外角についてです。
多角形の外角の和は何角形でも\(360^\circ\)となります。
三角形であっても四角形であっても五角形であっても外角の和は\(360^\circ\)です。
多角形の外角の和が\(360^\circ\)になる理由
三角形を考え、内角をそれぞれ\(\angle a\)、\(\angle b\)、\(\angle c\)、外角をそれぞれ\(\angle d\)、\(\angle e\)、\(\angle f\)とします。
すると1つの頂点について、1つの内角とそれと隣り合う外角の和は\(180^\circ\)です。
そして三角形であるのでこの内角と外角の和のペアが3つあります。
つまり
\[
180^\circ \times 3 = 540^\circ
\]
となります。
これは全ての内角と外角を足したものであるので、ここから内角の和を引くことで外角の和を求めることができます。
三角形の内角の和は\(180^\circ\)であることから、先程の内角と外角の和から引くと
\[
540^\circ – 180^\circ = 360^\circ
\]
と外角の和が求まりました。
他の多角形に関しても同様に計算することで外角の和が\(360^\circ\)となります。
\(n\)角形の外角の和を求めて全ての場合で外角の和が\(360^\circ\)となるか確認してみましょう。
1つの頂点の内角と外角の和が\(180^\circ\)のペアが\(n\)角形であれば\(n\)個あるので
\[
180^\circ \times n= 180n^\circ\ \ \ \ \mbox{①}
\]
です。
また、\(n\)角形の内角の和は
\[
180^\circ \times (n-2) = 180(n-2)^\circ \ \ \ \mbox{②}
\]
であるので、①ー②をすることで外角の和が求まるので
\[
\begin{align}
180n^\circ – 180(n-2)^\circ &= 180n^\circ -180n^\circ + 180^\circ \times 2\\
&=360^\circ
\end{align}
\]
となり、多角形の外角の和は\(360^\circ\)となることがわかります。
まとめ
それでは今回のまとめです。
・多角形の内角の和
ポイント → 多角形を三角形に分ける
考え方 → 分けた三角形の数 \(\times 180^\circ\)
公式 → \(n\)角形の内角の和\(=180^\circ \times (n-2)\)
・多角形の外角の和
多角形の外角の和は何角形でも\(360^\circ\)となる
今回はここまでです。
練習問題については別の記事で行います。
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