今回の中2数学の解説は式の計算から「単項式、多項式」について解説していきます。
・多項式って？
という疑問を解決していきます。
この記事では
・単項式の次数
・多項式について
・多項式のイメージ
・多項式の次数
について解説していきます。
単項式とは
まずは単項式についてです。
数や文字のかけ算のみでつくられた式。
\(3a^2\)、\(-\frac{5a}{2}\)のように数や文字のかけ算でつくられた式を単項式といいます。
判断の仕方はかけ算のみの式に直すことができるかどうかをチェックします。
\(3a^2\)、\(-\frac{5a}{2}\)をかけ算のみの式に直せるかチェックしてみましょう。
まずは\(3a^2\)についてです。
2乗は同じ数字が2回かけられているということなので
\[
3a^2=3\times a \times a
\]
というようにかけ算のみの式で表すことができるので単項式です。
次に\(-\frac{5a}{2}\)を確認してみましょう。
\[
-\frac{5a}{2}=(-1)\times 5\times a \times \frac{1}{2}
\]
とこれもかけ算のみの式で表すことができるので単項式とわかります。
このようにして、かけ算のみの式で表せるかどうかをチェックすることで単項式かどうか判断することができます。
単項式の次数
単項式の次数についても確認していきましょう。
単項式の次数はかけ合わされた文字の個数がいくつかで判断します。
例えば\(6x^2\)であれば\(6x^2=6\times x \times x\)であるので、かけ合わされている文字の個数は2個です。
よって次数は2となります。
もう1つ例をみておきます。
\(3x^2yz^2\)の次数を考えてみます。
かけ算のみで表してみると
\[
3x^2yz^2=3\times x\times x\times y\times z\times z
\]
となります。
文字の数を数えると5個であるので次数は5となります。
このように単項式をかけ算のみの式で表すと次数を判断しやすくなることがあります。
また、次数が◯の式を「◯次式」といいます。
次数が2であれば2次式ですし、次数が3であれば3次式といいます。
多項式とは
次は多項式についてです。
単項式の和の形で表された式
\(4x-9y\)、\(a^2-4ab+8\)のように単項式の和の形で表された式を多項式といいます。
和とは足し算のことですが、\(4x-9y\)は引き算になっているのに多項式なの？と疑問に感じるかもしれません。
ここで、多項式の項の見つけ方を先に説明しておきます。
多項式をつくる1つ1つの単項式のことを項といいます。
この項を見つけるときには( )を使って足し算のみの式に直します。
例えば、\(4x-9y\)であれば
\[
4x-9y=4x+(-9y)
\]
このようにして足し算のみの式に直します。
すると\(4x-9y\)の項は\(4x\)、\(-9y\)ということがわかります。
つまり、\(4x-9y\)のように引き算の形になっていても\(4x+(-9y)\)というように( )を用いて単項式の和の形にすることができるので多項式と判断することができます。
\(a^2-4ab+8\)についても項を見つけてみましょう。
和のみの式の形に直すと
\[
a^2-4ab+8=a^2+(-4ab)+8
\]
となるので、\(a^2-4ab+8\)の項は\(a^2\)、\((-4ab)\)、\(8\)となります。
多項式のイメージ
この多項式ですが電車が連結しているイメージをもつとよいでしょう。
\(a^2-4ab+8\)であれば、\(a^2\)、\((-4ab)\)、\(8\)というそれぞれの項の車両が連結して1つの電車である\(a^2-4ab+8\)になっているというイメージです。
多項式の次数
では、多項式の次数はどのように判断すればよいのでしょうか？
単項式の場合はかけ合わされた文字の個数がいくつかで判断しました。
多項式はどうかというと、まずは和の形に直します。
そして、それぞれの項のかけられている文字の個数を数えます。
最後に、1番かけられている文字の個数の多い項、つまり次数の1番大きい項の次数がその多項式の次数になります。
具体的に考えてみます。
\(4x^2-9x^2y+7y\)という多項式の次数を考えます。
まずは、和の形に式を直します。
\[
4x^2-9x^2y+7y=4x^2+(-9x^2y)+7y
\]
そして、それぞれの項の文字の個数、つまり次数を考えます。
すると
・\(4x^2=4\times x\times x\)であり、かけ合わされている文字の個数は2個なので次数は2
・\(-9x^2y=(-1)\times 9\times x\times x\times y\)であり、かけ合わされている文字の個数は3個なので次数は3
・\(7y=7\times y\)であり、かけ合わされている文字の個数は1個なので次数は1
であるので、項の中で一番大きな次数は3です。
よって、\(4x^2-9x^2y+7y\)の次数は3となり、3次式です。
まとめ
それでは今回のまとめです。
◯単項式
・数や文字のかけ算のみでつくられた式
・判断の仕方はかけ算のみの式で表せるかどうかチェックする
・次数はかけ合わされた文字の個数で判断する
◯多項式
・単項式の和の形で表された式
・和の形に直した時の1つ1つの単項式を項という
・次数は項の中で次数が1番大きなものとなる
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