【中1数学】 等式の性質 ―4つの性質をマスターしましょう。

今回は中1数学の「等式の性質」についての解説です。

この等式の性質は後の方程式でも使います。

・等式がよくわからない
・等式の性質がよくわからない

といった人は必見です。

・等式とは何か
・4つの等式の性質

を今回は解説していきます。

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等式とは

まずは「等式」とは何かについてです。

先にポイントから述べてしまうと

等式

=(等号、イコール)を用いて数や式の間の関係を表した式

です。

具体的に考えていきます。
例えば「\(a\)から3を引くと\(b\)になる」という関係があったとします。

これを等式で表すと

\[
a-3=b
\]

となります。

ここでポイントとなるのは

等号の右と左の数、または式は等しい

ということです。

つまり、「\(a\)から3を引いたもの」と「\(b\)」は等しいということが式から読み取れるというわけです。

なので、等式を見たら「等号の右側と左側とで等しいんだな」と意識するようにして下さい。

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等式の性質

等式の性質は4つあり、どれも重要な性質です。

1つ1つ確認していくのですが、等式の性質を説明していく上で必要な用語を追加しておきます。

それは「左辺」と「右辺」という用語です。

以下の図を見てください。

このように、=の左側を「左辺」、右側を「右辺」といいます。なお、左辺と右辺をあわせて「両辺」といいます。

それでは、等式の性質をみていきましょう。

等式の性質①

まず、1つ目の性質は

\[
A+C=B+C
\]

です。

これは、両辺に同じものを足しても等式が成り立つというものです。

具体例を示すと

\[
7=7
\]

という等式を考えます。
この等式が正しいのは言うまでもないでしょう。

この両辺に5を足してみます。

\[
\begin{align}
7+5&=7+5\\
12&=12
\end{align}
\]

両辺に5を足しても左辺も右辺12となり等式は成り立ちますね。

もちろん両辺、もしくは片方の辺が文字式であっても等式の性質は成り立ちますし、両辺に加えるものが文字であっても同様です。

一応例を示しておきます。

\[
x+2=y-1
\]

この等式の両辺に3を加えると

\[
x+2+3=y-1+3
\]

計算ができるのでしておきましょう。

\[
\begin{align}
x+2+3&=y-1+3\\
x+5&=y+2
\end{align}
\]

となります。
もともと成り立っていた等式の両辺に同じ数を足して計算しただけなので、この等式も成り立っています。

今度は両辺に\(h\)を加えてみます。

\[
x+2+h=y-1+h
\]

となり、これ以上計算できませんが、同じものを両辺に加えているので等式は成り立っています。

等式の性質②

2つ目の性質は

\[
A-C=B-C
\]

です。

これは、両辺から同じものを引いても等式が成り立つというものです。

具体例で考えてみましょう。
先ほどと同様の等式

\[
7=7
\]

この両辺から4を引いてみます。

\[
\begin{align}
7-4&=7-4\\
3&=3
\end{align}
\]

両辺から4を引いても左辺と右辺とも同じ数となっており、等式は成立していますね。

両辺に足した時と同様に、両辺、または片方の辺が文字式であっても、引くものが数以外であっても、両辺から同じものを引けば等式は成立したままです。

等式の性質①、②のイメージ

この2つの等式の性質の説明によく天秤などが使われます。

両側に重りがのってつりあっている天秤を考えます。

その天秤の両側に同じ重さのものを加えても釣り合ったままですし、同じだけ両側からおもりを取り除いても天秤は釣り合ったままです。

こんなイメージを持ってもらっても良いと思います。

等式の性質③

3つ目の性質は

\[
A\times C=B\times C
\]

です。

これは、両辺に同じものをかけても等式が成り立つというものです。

具体例で考えましょう。

\[
7=7
\]

という等式の両辺に8をかけてみます。

\[
\begin{align}
7\times8&=7\times8\\
56&=56
\end{align}
\]

両辺に8をかけても左辺と右辺の値は等しくなり等式は成り立ちますね。

これまでと同様に、両辺、または片方の辺が文字式であっても、かけるものが数以外であっても、両辺に同じものをかければ等式は成立したままです。

等式の性質④

最後に4つ目の性質は

\[
A\div C=B\div C
\]

です。

これは、両辺を同じもので割っても等式が成り立つというものです。

具体例で考えると

\[
7=7
\]

という等式の両辺に7で割ってみます。

\[
\begin{align}
7\div7&=7\div7\\
1&=1
\end{align}
\]

両辺を7で割っても左辺と右辺の値は同じになり等式は成り立ちますね。

ここで、割り算は逆数のかけ算に直すことができるので

\[
\begin{align}
7\times \frac{1}{7}&=7\times \frac{1}{7}\\ \\
1&=1
\end{align}
\]

等式の性質③で両辺に同じ数をかけても成り立つことはわかっているので、この結果も成立するのは明らかです。

割り算についても、両辺、または片方の辺が文字式であっても、割られるものが数以外であっても、両辺に同じもので割れば等式は成立したままです。

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まとめ

それでは今回のまとめです。

等式の性質
 ① \(A+C=B+C\)
 ② \(A-C=B-C\)
 ③ \(A\times C=B\times C\)
 ④ \(A\div C=B\div C\)

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