今回は中学理科のポイント解説です。
テーマは「直列回路の電圧・電流・抵抗の求め方」です。
・どう解けばよいかわからない
・直列回路は何を覚えればいいのかわからない
といった悩みがある人は必見です。
回路の性質を利用するので、まずは性質から解説していきます。
解き方を早く知りたい！
という人は、目次から解き方の所までジャンプして下さい。
しかし、回路が苦手な人は性質を理解できていないことが多いので最初から読んでいくことをオススメします。
直列回路とは？
まずは、直列回路とは何かについてです。
直列回路とは、電源や抵抗などの電子部品をひとつなぎにした回路のことです。
電流の流れる道筋を一筆書きですべてたどることができます。
なので並列回路の見分け方として、電流の道筋をたどったときに全ての電子部品を通ることができれば直列回路です。
以下の図のようになります。
直列回路の性質
それでは直列回路の問題を解く時に必要となる直列回路の性質を確認していきます。
それぞれの抵抗を\(R_1\)、\(R_2\)、回路に流れる電流を\(I\)、\(R_1\)に流れる電流を\(I_1\)、\(R_2\)に流れる電流を\(I_2\)、電源の電圧を\(V\)、\(R_1\)にかかる電圧を\(V_1\)、\(R_2\)にかかる電圧を\(V_2\)とします。
この図を元に説明していきます。
直列回路に流れる電流
まずは電流です。
直列回路に流れる電流はどこも同じになります。
途中で枝分かれしたり、どこかに勝手に電流がいくわけではないのでどこも等しくなります。
もしくは、一筆書きでたどることからも電流がどこも等しいことがイメージできるかと思います。
I=I_1=I_2
\]
となります。
直列回路の電圧
次に電圧についてです。
まず以下の図を見て下さい。
山をイメージしてもらうと良いのですが、図の色の同じ導線の高さは等しいです。
今、B点からA点へとみなさんが山を登るとします。
すると以下の図のように2つのルートで山を登ることができます。
①B点(オレンジ)からA点(緑)へ一気に登る
②B点(オレンジ)からC点(青)へ登り、C点(青)からA点(緑)へ登る
すると、どちらのルートで登ったときも最終的に到達する高さは等しいことが図からわかるかと思います。
登った高さを電圧を使って表すと、電源の電圧を\(V\)、\(R_1\)にかかる電圧を電圧を\(V_1\)、\(R_2\)にかかる電圧を\(V_2\)としているので、①のルートは\(V\)だけ登ります。
②のルートでは、\(V_2\)登り、さらに\(V_1\)登るので、結果的に\(V_1+V_2\)だけ登ったことになります。
どちらのルートで登っても最終的な高さは等しくなるので
V=V_1+V_2
\]
となります。
このように、直列回路では電源の電圧とそれぞれの抵抗にかかる電圧の和が等しくなります。
直列回路の合成抵抗
最後に直列回路の合成抵抗についてです。
これは結果をまずは示しておきます。
合成後の抵抗を\(R\)とすると、直列回路の合成抵抗は
R=R_1+R_2
\]
となります。
それぞれの抵抗の和が直列回路の合成抵抗となります。
なぜこのようになるのかは後ほど説明します。
直列回路の問題の解き方
直列回路の問題の解き方を説明していきます。
ポイントは次回解説する並列回路も同様なのですが
・回路の性質を利用する
です。
なので、オームの法則と直列回路の電流と電圧の性質は覚えておきましょう。
それでは解き方の流れを説明し、例を用いて解説していきます。
解き方の流れ
解き方流れは
②わからないもの、求めるものを文字でおく
③各部品にオームの法則を利用
④直列回路の性質を使う
⑤解の確認
となります。
直列回路の合成抵抗
ここで、式だけ示した合成抵抗についてどのように求めるのか説明します。
解き方の流れを使って説明していきます。
電源の電圧が\(V\)[V]、回路に流れる電流が\(I\)[A]、抵抗の値が\(R_1\)[Ω]、\(R_2\)[Ω]の時、以下の回路の合成抵抗を求めてみます。
まずは「①情報の整理(何回路か、わかっているものは何か)」です。
電源からスタートして、全ての電子部品を通って再び電源に戻ってくることができるので、この回路は直列回路です。
わかっているものは、電源の電圧、回路に流れる電流、それぞれの抵抗の値です。
次は、「②わからないもの、求めるものを文字でおく」です。
今回わからないものは、各抵抗にかかる電圧、各抵抗に流れる電流です。
これらを文字でおきます。
\(R_1\)の抵抗にかかる電圧を\(V_1\)、流れる電流を\(I_1\)、\(R_2\)に抵抗にかかる電圧を\(V_2\)、流れる電流を\(I_2\)とします。
すると、以下の図のようになります。
(文字でおいたものは赤字になっています。)
では、次に「③オームの法則を利用」です。
それぞれの部品に対してオームの法則を立てます。
今回、抵抗が2つあるのでオームの法則も2式立てます。
オームの法則は
\[
V=RI
\]
でした。
まずは\(R_1\)の抵抗について
\[
V_1=R_1I_1\ \ \ \mbox{①}
\]
\(R_2\)の抵抗について
\[
V_2=R_2I_2\ \ \ \mbox{②}
\]
となります。
オームの法則で式を立てることができたので、次に「④直列回路の性質を使う」です。
まず、電流については流れる電流はどこも等しいという性質があったので
\[
I=I_1=I_2
\]
です。
すると、①式、②式はそれぞれ
\[
V_1=R_1I\ \ \ \mbox{①’}
\]
\[
V_2=R_2I\ \ \ \mbox{②’}
\]
とすることができます。
電圧については、電源の電圧と各部品に掛かる電圧の和は等しいという性質があったので
\[
V=V_1+V_2
\]
です。
①’式、②’式を\(V=V_1+V_2\)に代入します。
\[
V=R_1I+R_2I\ \ \ \mbox{③}
\]
③式を\(I\)でくくると
\[
V=(R_1+R_2)I\ \ \ \mbox{③’}
\]
③’式を変形し
\[
R_1+R_2=\frac{V}{I}\ \ \ \mbox{③”}
\]
とします。
以下の図を見て下さい。
このように、複数ある抵抗を1個と考えたのが合成抵抗です。
合成抵抗を\(R’\)とします。
すると、オームの法則を使い\(R’=\)とすると
\[
\begin{align}
V&=R’I\\ \\
R’&=\frac{V}{I}\ \ \ \mbox{④}
\end{align}
\]
となります。
③”式と④式の\(\frac{V}{I}\)は等しいので、③”式の右辺を④式の左辺に代入すると
\[
R’=R_1+R_2
\]
となり、直列回路の合成抵抗は各抵抗の和となることが確認できました。
合成抵抗の式についてですが、覚えてもいいのですがこのようにして導くこともできますし、使わなくても問題を解くことができます。
練習問題
それでは問題を解いて解き方の流れを確認していきましょう。
まずは「①情報の整理」です。
問題文の回路は直列回路で、電源の電圧、それぞれの抵抗の値がわかっています。
実際に問題を解く時は、自分で図を描いて情報を書き込んでいってください。
次に「②わからないもの、求めるものを文字でおく」です。
今回わからないものは、4.0[Ω]、6.0[Ω]に流れる電流・電圧、求めるものはA点に流れる電流です。
これらを文字でおきます。
4.0[Ω]、6.0[Ω]に流れる電流をそれぞれ\(I_1\)、\(I_2\)、かかる電圧を\(V_1\)、\(V_2\)、A点に流れる電流を\(I\)とします。
文字でおいたものも図に描き込んでいきましょう。
それでは「③各部品にオームの法則を利用」です。
4.0[Ω]の抵抗についてオームの法則を利用すると
\[
V_1=4.0\times I_1\ \ \ \mbox{①}
\]
6.0Ω]の抵抗についてオームの法則を利用すると
\[
V_2=6.0\times I_2\ \ \ \mbox{②}
\]
となります。
式を立てたら「④直列回路の性質を使う」です。
直列回路に流れる電流はどこも等しいので
\[
I=I_1= I_2
\]
です。
よって①式、②式はそれぞれ
\[
V_1=4.0\times I\ \ \ \mbox{①’}
\]
\[
V_2=6.0\times I\ \ \ \mbox{②’}
\]
となります。
また、電圧はそれぞれの抵抗にかかる電圧の和が電源電圧と等しくなるので
\[
V=V_1+V_2
\]
であるので、①’式、②’式、電源電圧10[V]を代入して
\[
10=4.0\times I+6.0\times I\ \ \ \mbox{③}
\]
③式を\(I\)でくくり、\(I=\)にすると
\[
\begin{align}
10&=(4.0+6.0)I\\
10&=10I\\
I&=1.0
\end{align}
\]
となります。
最後に「⑤解の確認」をします。
求めた電流を①’式、②’式に代入し、\(V_1\)、\(V_2\)を求めてみます。
\[
\begin{align}
V_1&=4.0\times1.0\\
&=4.0
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
V_2&=6.0\times1.0\\
&=6.0
\end{align}
\]
と\(V_1=4.0\)[V]、\(V_2=6.0\)[V]と求まりました。
\[
V=V_1+V_2
\]
という関係があったので、ここにそれぞれの値を代入すると
\[
\begin{align}
V&=4.0+6.0\\
&=10
\end{align}
\]
10[V]となり電源の電圧と一致したので求めた電流の値は合っています。
よって、答えは1.0[A]となります。
後は求めるものが変わったり、数値が変わるだけなので同じように計算していって下さい。
別解
別解についても一応示しておきます。
解き方の流れの①までは同じです。
次に「②わからないもの、求めるものを文字でおく」の前に抵抗を合成します。
直列回路の合成抵抗はそれぞれの抵抗の和であったので
\[
R’=R_1+R_2
\]
より、問題文の直列回路の合成抵抗を\(R’\)とすると
\[
\begin{align}
R’&=4.0+6.0\\
&=10
\end{align}
\]
と合成抵抗は10[Ω]になります。
すると
このような回路に流れる電流を\(I\)とおいて考えれば良くなります。
すると
\[
10=10\times I
\]
となり、これを\(I\)について解くと1.0[A]と求まり先程の答えと一致します。
このように合成をしてからオームの法則という方法でもよいのですが、回路が複雑になると合成が正しくできないと間違えてしまうので注意して下さい。
複雑な回路とは次回学ぶ並列回路と今回の直列回路が合わさった回路なのです。
まとめ
それでは今回のまとめです。
・解き方流れ
①情報の整理(何回路か、わかっているものは何か)
②わからないもの、求めるものを文字でおく
③各部品にオームの法則を利用
④直列回路の性質を使う
⑤解の確認
という流れで回路の問題が苦手な人は解いてみて下さい。
少し長くなってしまいましたが今回はここまでです。
コメント