今回の中1数学解説は「おうぎ形の中心角の求め方」について前回の続きを解説していきます。
前回はおうぎ形の
・面積が分かっている場合
について中心角の求め方を解説しました。
今回は
についてです。
弧の長さや面積が分かっている場合と比べて少し難しく感じるかもしれませんが、丁寧に確認していきましょう。
円錐の母線\(L\)、底面の半径\(R\)が分かっている場合
円錐の母線\(L\)、底面の半径\(R\)が分かっている場合についてです。
母線という言葉が出てきたので確認しておきます。
円錐の母線とは以下の部分のことです。
この母線は円錐を展開した時におうぎ形の半径になります(赤い部分)。
それでは以下の問題を用いて解説していきます。
これまでと同様の考え方で解いていきます。
①情報を整理する
分かっている情報は
・円錐の母線が\(12\)cm
です。
②求めるもの(中心角)を文字でおく
求めるものは中心角であるので\(x\)とおきます。
このように展開図にして情報をまとめておくと考えやすくなります。
③分かっているものを求める式を立てる
ここが円錐の中心角を求める時のポイントとなります。
おうぎ形の弧の長さや面積が分かっていればそれぞれを求める式を立てて方程式を解けば中心角を求めることができました。
しかし、今回はどちらも分かっていません。
ではどうすればよいかというと展開図に注目します。
以下の図の赤い部分を見てください。
この底面の円の円周とおうぎ形の弧の部分の長さが等しくなります。
これは展開したものを組み立てた時に底面の円周とおうぎ形の弧の部分の長さが等しくなければ組み立て時にピッタリ合わないためです。
このことを利用して式を立てていきます。
まずは底面に注目してください。
底面は半径\(5\)cmの円であるので円周を\(l_1\)とすると
\[
l_1=2\times \pi \times 5
\]
となります。
\(2\times 5\)を計算してもよいのですが、後々のためにこのままにしておきます。
次におうぎ形の弧の長さです。
半径\(12\)cm、中心角\(x^{\circ}\)のおうぎ形の弧の長さを\(l_2\)とすると
\[
l_2=2\times \pi \times 12 \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\]
となります。
\(2\times 12\)を計算してもよいのですが、こちらも後々のためにこのままにしておきます。
ここで先程確認したように底面の円の円周とおうぎ形の弧の長さが等しいことから
\[
l_1=l_2
\]
であるのでそれぞれの式の右辺を代入すると
\[
2\times \pi \times 5=2\times \pi \times 12 \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\]
となり中心角を求める方程式を立式することができました。
後はこの方程式を解けばOKです。
④方程式を解く
それでは解いていきましょう。
まずは両辺に\(\frac{1}{2\pi}\)をかけます。
\[
\begin{align}
2\times \pi \times 5 \times \frac{1}{2\pi}&=22\times \pi \times 12 \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{1}{2\pi}\\ \\
5&=12 \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\end{align}
\]
次に両辺に\(\frac{1}{12}\)をかけます。
\[
\begin{align}
5 \times \frac{1}{12}&=12 \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{1}{12}\\ \\
\frac{5}{12}&=\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\end{align}
\]
最後に両辺に\(360^{\circ}\)をかけます。
\[
\begin{align}
\frac{5}{12} \times 360^{\circ}&=\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}} \times 360^{\circ}\\ \\
\frac{5\times360^{\circ}}{12}&=x^{\circ}
\end{align}
\]
\(360=12\times30\)であるので
\[
\begin{align}
\frac{5\times(12\times30)^{\circ}}{12}&=x^{\circ}\\ \\
150^{\circ}&=x^{\circ}
\end{align}
\]
となり、中心角が\(150^{\circ}\)と求まりました。
円錐の中心角はこのようにして底面の円の円周とおうぎ形の弧の長さが等しいことを利用して解きます。
円錐の中心角を求める公式
一応、円錐の中心角を求める公式を示しておきます。
x^{\circ}=\frac{R}{L} \times 360^{\circ}
\]
ではこの式をどのようにして導くかを説明します。
中心角\(x^{\circ}\)、母線の長さ\(L\)、半径\(R\)の円錐の中心角を考えます。
底面の円の円周は
\[
2\pi R
\]
であり、側面のおうぎ形の弧の長さは
\[
2\pi L \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\]
そして円周の長さと弧の長さが等しくなるので
\[
2\pi R=2\pi L \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\]
両辺に\(\frac{1}{2\pi}\)をかけます。
\[
\begin{align}
2\pi R \times \frac{1}{2\pi}&=2\pi L \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{1}{2\pi}\\ \\
R&=L \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}
\end{align}
\]
であり、\(x^{\circ}=\)に直すと
\[
x^{\circ}=\frac{R}{L}\times 360^{\circ}
\]
となります。
つまり、円錐の中心角は底面の円の半径を母線で割ったものに\(360^{\circ}\)をかけたものとなります。
この式に代入して計算すれば簡単に求めることができます。
しかし、どのようにしてこの式が導かれていたのかも必ず理解しておいてください。
もちろん、この式をわざわざ覚えず、これまでと同様の手順通りに考えてもOKです。
まとめ
それでは今回のまとめです。
・円錐の中心角
母線の長さ\(L\)と底面の半径\(R\)が分かっている時、円錐の中心角\(x^{\circ}\)は
\[
2\pi L\times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}=2\pi R
\]
を利用する。
今回は以上です。
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